【提升版】北师大版数学九上2.4用因式分解法解一元二次方程 ...

更新时间：2024-07-17 浏览次数：23 类型：同步测试

一、选择题

1. (2024·赤峰) 等腰三角形的两边长分别是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则这个三角形的周长为( )

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024八下·安庆期末) 已知 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. (2024九下·榆次模拟) 关于x的方程 $\text{[math]}$ ，下列解法完全正确的是（）
甲
乙
丙
丁
两边同时除
以 $\text{[math]}$ 得
$\text{[math]}$
整理得 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
整理得 $\text{[math]}$ ，
配方得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
移项得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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4. (2023·临安模拟) 方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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5. (2024八下·合肥期中) 关于x的方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ 或1 D . 3或 $\text{[math]}$

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6. (2024九下·泗阳模拟) 若使分式 $\text{[math]}$ 的值为0，则a的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或1 B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. (2024·揭东模拟) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解为( )

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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8. 已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A . 24或2 $\text{[math]}$ B . 24 C . 2 $\text{[math]}$ D . 8 $\text{[math]}$ 或24

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二、填空题

9. (2024八下·吴江期末) 方程 $\text{[math]}$ 的根是．

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10. (2020九上·铁锋期末) 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个实数根，则该三角形的面积是．

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11. (2024八下·广安期末) 已知方程 $\text{[math]}$ 的两根恰好是 $\text{[math]}$ 的两条边的长，则 $\text{[math]}$ 的第三边长为．

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12. (2024八下·崇左期末) 当 $\text{[math]}$ =时，代数式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的值是互为相反数．

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13. (2024八下·亭湖月考) 已知 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个解，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

14. (2024八下·深圳期末) 如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是“邻2根方程”．
1. （1）通过计算，判断方程 $\text{[math]}$ 是否是“邻2根方程”；
2. （2）已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
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四、实践探究题

15. (2024八下·临平月考) 【综合与实践习】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
1. （1）【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为（x一m）（x一n）=0的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程x-m=0或，进而得到原方程的根为x₁=m，x₂=。
2. （2）【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，这个方程利用公式法或者配方法可得： $\text{[math]}$ ，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对 $\text{[math]}$ 进行因式分解得到 $\text{[math]}$ ，请你利用这个方法对 $\text{[math]}$ 进行因式分解.
3. （3）【问题解决】小枪：从特殊到一般，是否所有的代数式 $\text{[math]}$ 都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式 $\text{[math]}$ 中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？
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16. (2024九上·黔南期末) 阅读材料：
解方程： $\text{[math]}$ ．我们可以将 $\text{[math]}$ 视为一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，原方程化为 $\text{[math]}$ ①，解得 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 原方程的解为 $\text{[math]}$ ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
1. （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想；
2. （2）解方程； $\text{[math]}$ ．
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17. 阅读材料：若 $\text{[math]}$ ，求m、n的值.
解： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ .
根据你的观察，探究下面的问题：
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 $\text{[math]}$ ，求边c的最大值.
3. （3）若已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值
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18. (2018九上·唐河期末)
1. （1）解方程：2x²+x﹣6=0；
2. （2）阅读理解：为解方程（x²﹣1）²﹣5（x²﹣1）+4=0，我们可以将x²﹣1视为一个整体，然后设x²﹣1=y，则原方程化为y²﹣5y+4=0，解此方程得：y₁=1，y₂=4．当y=1时，x²﹣1=1，x=± $\text{[math]}$ ；当y=4时，x²﹣1=4，∴x=± $\text{[math]}$
  ∴原方程的解为：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=﹣ $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，x₁=﹣ $\text{[math]}$
  
  以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
  
  运用上述方法解方程：x⁴﹣8x²+12=0．
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19. (2020九上·柳州期中) 知识经验
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
即：如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
知识迁移
Ⅰ.解方程： $\text{[math]}$
解： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
Ⅱ.解方程： $\text{[math]}$ ，
解： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
1. （1）【理解应用】
  解方程： $\text{[math]}$
2. （2）【拓展应用】
  如图，有一块长宽分别为80 $\text{[math]}$ ，60 $\text{[math]}$ 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500 $\text{[math]}$ 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长.
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