【培优版】北师大版数学九上2.5一元二次方程根与系数的关系 ...

更新时间：2024-07-17 浏览次数：32 类型：同步测试

一、选择题

1. 已知α，β是方程x²+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α²）（1+2016β+β²）的值为（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 若α、β是方程x²+2x﹣2007=0的两个实数根，则α²+3α+β的值（　　）

A . 2007 B . 2005 C . ﹣2007 D . 4010

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3. (2024九下·开州开学考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的两个多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．其中a为常数，下列说法：
①若 $\text{[math]}$ 的值始终与 $\text{[math]}$ 无关，则 $\text{[math]}$ ；
②关于x的方程 $\text{[math]}$ 始终有两个不相等的实数根；
③若 $\text{[math]}$ 的结果不含 $\text{[math]}$ 的项，则 $\text{[math]}$ ；
④当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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4. (2023九上·泸州月考) 已知 m， n 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . -10 C . 0 D . 10

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5. (2023九上·资中期中) 设 $\text{[math]}$ 的两实根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，而以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程仍是 $\text{[math]}$ ，则数对 $\text{[math]}$ 的个数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023九上·天河期中) 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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7. (2023九上·邹城月考) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 中，下列说法：①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； ②若方程两根为 $\text{[math]}$ 和2，则 $\text{[math]}$ ； ③若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则方程 $\text{[math]}$ 必有两个不相等的实根；④若 $\text{[math]}$ ，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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8. (2023九上·韩城期末) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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二、填空题

9. (2024八下·萧山期中) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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10. (2024九上·阿克苏期末) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则代数式 $\text{[math]}$ 的值等于．

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11. (2024九上·武胜期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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12. (2024九上·都江堰期末) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2023九上·岳阳月考) 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

14. (2024九上·吴桥期末) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求一元二次方程的根；
2. （2）求证：无论k取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求方程的另一个根．
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15. (2024九上·蓬溪期末) 已知，关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是该方程的一个根，求k的值及另一个根；
2. （2）若该方程有两个实数根，若 $\text{[math]}$ ，求k的值；
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16. (2024九上·怀化期末) 定义：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以一元二次方程 $\text{[math]}$ 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
1. （1）判断一元二次方程 $\text{[math]}$ 是否为“限根方程”，并说明理由；
2. （2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 是“限根方程”，且方程的两根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求k的值．
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17. (2024九上·万源期末) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根．
1. （1）求m的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的两条直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长恰好是此方程的两个实数根，斜边 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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18. (2023九上·武威月考) 已知 $\text{[math]}$ 是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根.
1. （1）是否存在实数k，使 $\text{[math]}$ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
2. （2）求使 $\text{[math]}$ 的值为整数的实数k的整数值.
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四、综合题

19. (2023九上·新邵期末) 已知：平行四边形 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根.
1. （1） m为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形？
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的长为3，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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20. (2022九上·恩施月考) 已知：x₁ ， x₂是x²+8x+m＝0的两个实数根，且 $\text{[math]}$ ＝60求．
1. （1） m的值；
2. （2） $\text{[math]}$
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五、实践探究题

21. (2023九上·忻州期中) 阅读与思考：
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
1. （1）材料理解：若一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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22. (2020九上·顺昌月考) 阅读材料：
材料1：若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．

材料2：已知实数m、n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求 $\text{[math]}$ 的值．

解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n=1，mn=-1．

∴ $\text{[math]}$ ．

根据上述材料解决下面的问题：
1. （1）一元二次方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂ ，则x₁+x₂=4，x₁x₂=；
2. （2）已知实数m，n满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且m≠n，求m²n+mn²
  的值；
3. （3）已知实数p，q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．
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