2017高考数学备考复习（理科）专题二十：推理与证明

更新时间：2017-12-23 浏览次数：848 类型：一轮复习

一、单选题

1. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）

A . 增加 $\text{[math]}$ 项 B . 增加 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两项 C . 增加 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两项且减少 $\text{[math]}$ 一项 D . 以上结论均错

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2.
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A . 289 B . 1024 C . 1225 D . 1378

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3. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）

A . 假设a，b，c都是偶数 B . 假设a，b，c都不是偶数 C . 假设a，b，c至多有一个是偶数 D . 假设a，b，c至多有两个是偶数

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4. 用数学归纳法证明不等式“ $\text{[math]}$ ”的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）

A . 增加了一项 $\text{[math]}$ B . 增加了两项 $\text{[math]}$ C . 增加了一项 $\text{[math]}$ ，又减少了一项 $\text{[math]}$ D . 增加了两项 $\text{[math]}$ ，又减少了一项 $\text{[math]}$

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5. 观察式子： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……则可归纳出式子（ $\text{[math]}$ ）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A . ①②③； B . ②③④； C . ②④⑤； D . ①③⑤。

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7. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
① $\text{[math]}$ ，这与三角形内角和为 $\text{[math]}$ 相矛盾， $\text{[math]}$ 不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中有两个直角，不妨设 $\text{[math]}$ ，
正确顺序的序号为（）

A . ①②③ B . ③①② C . ①③② D . ②③①

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8. 已知 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ， …，若 $\text{[math]}$ （a，b∈R），则（　　）

A . a=7，b=35 B . a=7，b=48 C . a=6，b=35 D . a=6，b=48

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9. (2017高二下·龙海期中) 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x³的极值点．以上推理中（）

A . 大前提错误 B . 小前提错误 C . 推理形式错误 D . 结论正确

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10. (2016高二下·新余期末) 对于数25，规定第1次操作为2³+5³=133，第2次操作为1³+3³+3³=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）

A . 25 B . 250 C . 55 D . 133

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11. (2015高二下·广安期中) 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A . 方程x³+ax﹣b=0没有实根 B . 方程x³+ax﹣b=0至多有一个实根 C . 方程x³+ax﹣b=0至多有两个实根 D . 方程x³+ax﹣b=0恰好有两个实根

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12. (2016高二下·丰城期中) “因为指数函数y=a^x是增函数（大前提），而y=（ $\text{[math]}$ ）^x是指数函数（小前提），所以y=（ $\text{[math]}$ ）^x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）

A . 大前提错导致结论错 B . 小前提错导致结论错 C . 推理形式错导致结论错 D . 大前提和小前提错都导致结论错

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13. (2017高二下·惠来期中) 用数学归纳法证明1²+2²+…+（n﹣1）²+n²+（n﹣1）²+…+2²+1²═ $\text{[math]}$ 时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）

A . （k+1）²+2k² B . （k+1）²+k² C . （k+1）² D . $\text{[math]}$

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14. (2016高三上·辽宁期中) 已知x＞0，由不等式x+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =2，x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥3 $\text{[math]}$ =3，…，可以推出结论：x+ $\text{[math]}$ ≥n+1（n∈N^*），则a=（）

A . 2n B . 3n C . n² D . nⁿ

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15. (2017·石家庄模拟) 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

16.
观察下列各式：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
……
照此规律，当n $\text{[math]}$ N时，
$\text{[math]}$ .

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17. (2016·新课标Ⅰ卷文) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是和．

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18. (2016高二下·泗水期中) 有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x₀）=0，那么x=x₀是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x³在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x³的极值点．”以上推理中
（1）大前提错误
（2）小前提错误
（3）推理形式正确
（4）结论正确
你认为正确的序号为

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19. (2016高二下·宁海期中)
如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）=；
②f（n）=．

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20. (2016高二上·嘉定期中) 用数学归纳法证明等式：1+a+a²+…+aⁿ⁺¹= $\text{[math]}$ （a≠1，n∈N^*），验证n=1时，等式左边=．

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三、综合题

21. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明
1. （1） $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不可能同时成立
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22. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ (n=1，2，...)．记
集合 $\text{[math]}$ ．
1. （1）（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，写出集合M的所有元素；
2. （2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
3. （3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
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23. 已知集合X={1，2，3}，Y_n={1,2,3...,n}(n $\text{[math]}$ N*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， a $\text{[math]}$ X, b $\text{[math]}$ Y_n}, 令f(n)表示集合S_n所包含元素的个数。
1. （1）写出f（6）的值；
2. （2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.
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24. (2016高二下·孝感期末) 已知函数f_n（x）= $\text{[math]}$ x³﹣ $\text{[math]}$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
1. （1）求a₂ ， a₃ ， a₄；
2. （2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
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