2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷

更新时间：2017-03-10 浏览次数：1107 类型：高考模拟

一、<b >填空题</b>

1. 已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=．

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2. 设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．

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3. 已知样本数据x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ， x₅的方差s²=3，则样本数据2x₁ ， 2x₂ ， 2x₃ ， 2x₄ ， 2x₅的方差为．

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4. 如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．

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5. 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．

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6. 已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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7. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．

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8. 设{a_n}是等差数列，若a₄+a₅+a₆=21，则S₉=．

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9. 将函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移φ（ $\text{[math]}$ ）个单位后，所得函数为偶函数，则φ．

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10. 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．

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11. 在△ABC中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线 $\text{[math]}$ 上从左向右依次取点A_k、B_k ， k=1，2，…，其中A₁是坐标原点，使△A_kB_kA_k₊₁都是等边三角形，则△A₁₀B₁₀A₁₁的边长是．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图像与圆M：（x﹣3）²+y²=r²的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图像经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．

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14. 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²+2c²=8，则△ABC面积的最大值为．

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二、<b >解答题</b>

15. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
1. （1）求证：B₁C₁∥平面A₁DE；
2. （2）求证：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁ ．
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16. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．
1. （1）求角C；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求sinA的值．
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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=b²经过椭圆 $\text{[math]}$ （0＜b＜2）的焦点．
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k₁ ， k₂ ，当2m²﹣2k²=1时，求k₁•k₂的值．
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18. 如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？
2. （2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）
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19. 设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+ $\text{[math]}$ ﹣3（a∈R）．
1. （1）当a=2时，解关于x的方程g（e^x）=0（其中e为自然对数的底数）；
2. （2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；
3. （3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．
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20. 若存在常数k（k∈N^* ， k≥2）、q、d，使得无穷数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ 则称数列{a_n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b_n}为“段比差数列”．
1. （1）若{b_n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
  ①当q=0时，求b₂₀₁₆；
  ②当q=1时，设{b_n}的前3n项和为S_3n ，若不等式 $\text{[math]}$ 对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围；
2. （2）设{b_n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b_n}，并说明理由．
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21. 如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．

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22. 设矩阵M= $\text{[math]}$ 的一个特征值λ对应的特征向量为 $\text{[math]}$ ，求m与λ的值．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $\text{[math]}$ 为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．

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24. 若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x²+y²+z²的最小值．

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25. 某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．
1. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；
2. （2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．
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26. 设n∈N^* ， n≥3，k∈N^* ．
1. （1）求值：
  ①kC_n^k﹣nC_n_﹣₁^k^﹣¹；
  ② $\text{[math]}$ （k≥2）；
2. （2）化简：1²C_n⁰+2²C_n¹+3²C_n²+…+（k+1）²C_n^k+…+（n+1）²C_nⁿ ．
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