江苏省南通市2017届高三第二次调研测试数学试卷

更新时间：2024-07-12 浏览次数：547 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2017·南通模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. (2017·南通模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 的模是．

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3. (2017·南通模拟)
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 $\text{[math]}$ 是．

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4. (2017·南通模拟) 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm的根数是．
纤维长度
频数
[22.5，25.5)
3
[25.5，28.5)
8
[28.5，31.5)
9
[31.5，34.5)
11
[34.5，37.5)
10
[37.5，40.5)
5
[40.5，43.5]
4

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5. (2017·南通模拟) 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．

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6. (2017·南通模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离为3，则点 $\text{[math]}$ 的横坐标是．

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7. (2017·南通模拟) 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．

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8. (2017·南通模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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9. (2017·南通模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是公差不为0的等差数列， $\text{[math]}$ 是其前n项和．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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10. (2017·南通模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．若圆心在 $\text{[math]}$ 轴上的圆 $\text{[math]}$ 同时平分圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 的圆周，则圆 $\text{[math]}$ 的方程是．

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11. (2017·南通模拟) 如图，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且OA=3，OC=5．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是

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12. (2017·南通模拟) 在△ $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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13. (2017·南通模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ ．若函数 $\text{[math]}$ 有3个不同的零点，则m的取值范围是．

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14. (2017·南通模拟) 已知对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，则当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ 的值是．

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二、解答题

15. (2017·南通模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求：
1. （1） $\text{[math]}$ 的值；
2. （2） $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2017·南通模拟)
如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，A₁B与AB₁交于点D，A₁C与AC₁交于点E．求证：
1. （1） DE∥平面B₁BCC₁；
2. （2）平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
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17. (2017·南通模拟)
如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，C为椭圆上位于第一象限内的一点．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，求a，b的值；
2. （2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ ，求直线AB的斜率．
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18. (2017·南通模拟)
一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（参考数据： $\text{[math]}$ ° $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；
2. （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
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19. (2017·南通模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中e为自然对数的底数．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 在x $\text{[math]}$ 1处的切线方程；
2. （2）若存在 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，其中 $\text{[math]}$ 为常数，
  求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．
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20. (2017·南通模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为S_n $\text{[math]}$ ，且满足：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求p的值；
2. （2）数列 $\text{[math]}$ 能否是等比数列？请说明理由；
3. （3）求证：当r $\text{[math]}$ 2时，数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．
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三、选做题

21. (2017·南通模拟) 如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D， $\text{[math]}$ ．
求证： $\text{[math]}$ ．

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22. (2017·南通模拟) B．[选修4-2：矩阵与变换]
设矩阵 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求矩阵 $\text{[math]}$ 的逆矩阵 $\text{[math]}$ ．

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23. (2017·南通模拟) C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ （l为参数）与曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

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24. (2017·南通模拟) [选修4-5：不等式选讲]
设 $\text{[math]}$ 均为正实数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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四、必做题

25. (2017·南通模拟) 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
1. （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
2. （2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和 $\text{[math]}$ 的概率分布及数学期望．
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26. (2017·南通模拟) 设 $\text{[math]}$ ．有序数组 $\text{[math]}$ 经m次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 1，2， $\text{[math]}$ ，n）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
例如：有序数组 $\text{[math]}$ 经1次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；经第2次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 1，2， $\text{[math]}$ ，n．（注：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 1，2， $\text{[math]}$ ，n，则 $\text{[math]}$ ．）
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