2017年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）

更新时间：2017-04-28 浏览次数：258 类型：高考模拟

一、选择题：

1. (2017·万载模拟) 已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2^x ， x∈R}，则集合∁_U（M∪N）等于（）

A . （﹣∞，﹣1] B . （﹣1，2） C . （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D . [2，+∞）

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2. (2017·湘潭模拟) 若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. (2017·湘潭模拟) 如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e^x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2017·湘潭模拟) “m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）²+（y﹣1）²=2相切”的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2017·湘潭模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ =1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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6. (2017·湘潭模拟) 函数 f（x）=（x²﹣2x）e^x的图象大致是（）

A . B . C . D .

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7. (2017·湘潭模拟) 执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）

A . k＜6？ B . k＜7？ C . k＞6？ D . k＞7？

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8. (2017·湘潭模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

A . 6π B . 7π C . 8π D . 12π

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9. (2017·湘潭模拟) 已知T_n为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若n＞T₁₀+1013恒成立，则整数n的最小值为（）

A . 1026 B . 1025 C . 1024 D . 1023

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10. (2017·湘潭模拟) 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b
被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（bmodm）．若 $\text{[math]}$ ，a=b（bmod10），则b的值可以是（）

A . 2011 B . 2012 C . 2013 D . 2014

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11. (2017·黄石模拟)
如图，A₁ ， A₂为椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁ ， A₂的三点，直线QA₁ ， QA₂ ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（）

A . 14 B . 12 C . 9 D . 7

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12. (2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x² ，若对∀p，q∈（0，1），且p≠q，有 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A . （﹣∞，18） B . （﹣∞，18] C . [18，+∞） D . （18，+∞）

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二、填空题

13. (2020高二下·吉林月考) 若（1+2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₀+a₂+a₄=．

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14. (2017·成安模拟) 已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域内，且 $\text{[math]}$ （O为
坐标原点）的最大值为2，则m=．

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15. (2017·湘潭模拟) 将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g（0）=．

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16. (2017·湘潭模拟) 数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…a_n=2n﹣a_n（n∈N⁺）．数列{b_n}满足b_n= $\text{[math]}$ ，则{b_n}中的最大项的值是．

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三、解答题

17. (2017·湘潭模拟) 在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．
1. （1）求角A的大小；
2. （2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．
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18. (2017·湘潭模拟) 在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

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19. (2017·湘潭模拟) 某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
班号
一班
二班
三班
四班
五班
六班
频数
5
9
11
9
7
9
满意人数
4
7
8
5
6
6
1. （1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
2. （2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
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20. (2017·湘潭模拟) 已知点F（1，0），点A是直线l₁：x=﹣1上的动点，过A作直线l₂ ， l₁⊥l₂ ，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. (2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ $\text{[math]}$ ﹣x²﹣2ax（a∈R）．
1. （1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
2. （2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
3. （3）当a=﹣ $\text{[math]}$ 时，方程f（1﹣x）= $\text{[math]}$ 有实根，求实数b的最大值．
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22. (2017·湘潭模拟) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 $\text{[math]}$ （θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．
1. （1）求圆C的极坐标方程；
2. （2）若直线l的极坐标方程是 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．
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23. (2017·湘潭模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
1. （1）求a+b的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的最大值．
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