百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：341 类型：高考模拟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1. (2024高一上·雷州开学考) 若用列举法表示集合 $\text{[math]}$ ，则下列表示正确的是（）

A . {x=3，y=0} B . {（3，0）} C . {3，0} D . {0，3}

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2. 已知复数z= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（）

A . 600 B . 300 C . 60 D . 30

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4. 掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d₁ ， d₂ ， d₃ ， d₄ ，且满足 $\text{[math]}$ ，利用分割法可得d₁+2d₂+3d₃+4d₄= $\text{[math]}$ ；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D₁ ， D₂ ， D₃ ， D₄ ，若 $\text{[math]}$ ，则D₁+2D₂+3D₃+4D₄=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知F₁ ， F₂是椭圆C： $\text{[math]}$ （a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）²+（y-1）²=4上，若∠F₁AF₂= $\text{[math]}$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）

A . 6π+12 B . 10π+36 C . 5π+36 D . 6π+18

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）

A . - $\text{[math]}$ B . - $\text{[math]}$ C . 2 D . -2

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9. 已知函数f（x）=sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ sin² $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（）

A . 7 B . 9 C . 11 D . 12

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10. 在如图所示的圆锥中，平面ABC是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC= $\text{[math]}$ ，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 32π

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11. 已知点P是双曲线C： $\text{[math]}$ （a>1）上的动点，点M为圆O：x²+y²=1上的动点，且 $\text{[math]}$ ，若|PM|的最小值为 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2^x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（）

A . 99 B . 100 C . 198 D . 200

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\text{[math]}$ =（m-3，2）， $\text{[math]}$ =（-1，1），若 $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ |=.

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14. 12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式收取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为.

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15. 函数f（x）=（a+1）x²+bx-2（a>0，b>0）在原P（1，f（1））处的切线斜率为4，则z=a²+b²的最小值为.

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16. 已知数列{a_n}和{b_n}，设S_n为数列{a_n}的前n项和，满足a₁=2，且对任意m，n∈N*，都有a_m+n=a_m·a_n ，若 $\text{[math]}$ ，则数列{b_n}的所有项中的最小值为.

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n²+4n（n=N*）.
1. （1）证明数列{na_n}为等差数列；
2. （2）若b=n a_n·2ⁿ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.
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18. 如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= $\text{[math]}$ ，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.
1. （1）设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；
2. （2）求二面角A-PB-C的余弦值.
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19. 已知函数地f（x）=a（x-1）-（x+1）ln x，a=R.
1. （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
2. （2）当x>1时，f（x）<0，求实数a的取值范围.
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20. 出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
y	18.1	14.1	9.1	7.2	4.9	3.9	3.2	2.3	2.1	1.4

根据上述数据画出如图所示的散点图：

参考公式及参考数据：

①对于一组数据（u₁ ， v₁），（u₂ ， v₂），…，（u_n ， v_n），其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

②参考数据：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
6.50	6.63	1.75	82.50	2.70	-143.25	-27.54

表中u_i=Inx_i ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.

（1）根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；
（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；
（3）根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为：（单位：千元），当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）

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21. 已知点F为抛物线C：x²=2py（p>0）的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:（x-2）²+（y-3）²=16的直径为MN.
1. （1）求抛物线C的标准方程；
2. （2）过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l₁ ， l₂ ，证明直线l₁ ， l₂的交点在定直线上，并求出该直线.
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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： $\text{[math]}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
2. （2） M（3，0），直线L和曲线C交于A、B两点，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-5|.
1. （1）求不等式f（x）≤10的解集；
2. （2） a，b均为正实数，若 $\text{[math]}$ 为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。
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