2015年高考理数真题试卷（湖南卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：893 类型：高考真卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $\text{[math]}$ =1+i(i为虚数单位），则复数z=（）

A . 1+i B . 1-i C . -1+i D . -1-i

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2. 设 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 是两个集合，则“ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ "是" $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ "的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条

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3.
执行如图所示的程序框图，如果输入 $\text{[math]}$ ，则输出的 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -7 B . -1 C . 1 D . 2

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5. 设函数 $\text{[math]}$ ，则是 $\text{[math]}$ （）

A . 奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数 B . 奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上是减函数 C . 偶函数，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . 偶函数，且在 $\text{[math]}$ 上是减函数

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6. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数为30，则 $\text{[math]}$ =( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . - 6

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7.
在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

A . 2386 B . 2718 C . 3413 D . 4772

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8. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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9. 将函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数 $\text{[math]}$ 的图像，若对满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10.
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. $\text{[math]}$ = .

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12.
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 $\text{[math]}$ 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间 $\text{[math]}$ 上的运动员人数是

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13.
设 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一个焦点，若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 使线段 $\text{[math]}$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $\text{[math]}$ 的离心率为

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14. 设 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列，则 $\text{[math]}$ 。

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15.
1. 已知 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是。
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三、解答题

16.
（1）如图，在圆 $\text{[math]}$ 中，相交于点 $\text{[math]}$ 的两弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，证明：

（1） $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$

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17. 已知直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），一坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$
1. （1） (1)将曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程，
2. （2）（2）设点 $\text{[math]}$ 的直角坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值
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18. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明
1. （1） $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不可能同时成立
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19. 设 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为锐角，问：（1）证明： B - A = $\text{[math]}$ ，（2）求 sin A + sin C 的取值范围
1. （1）（1）证明： $\text{[math]}$
2. （2）（2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围
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20. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，求下列问题：（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
1. （1）（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率
2. （2）（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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21.
如图，已知四棱台 $\text{[math]}$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形， $\text{[math]}$ ，且

$\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上.

(1)若是 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ ；

(2若 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求四面体 $\text{[math]}$ 的体积

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22. 已知抛物线C₁：x²=4y 的焦点F也是椭圆c₂： $\text{[math]}$ 的一个焦点， C₁和C₂的公共弦长为 $\text{[math]}$
（1）求 C₂的方程；
（2）过点F 的直线 l与 C₁相交于A与B两点，与C₂相交于C ， D两点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同向
（ⅰ）若 $\text{[math]}$ 求直线l的斜率；
（ⅱ）设 C₁在点 A处的切线与 x轴的交点为M ，证明：直线l 绕点 F旋转时， $\text{[math]}$ MFD总是钝角三角形。

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23. 已知 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ )记x为 $\text{[math]}$ 的从小到大的第n( $\text{[math]}$ )个极植点，证明：
（1）数列 $\text{[math]}$ 的等比数列
（2）若 $\text{[math]}$ 则对一切 $\text{[math]}$ 恒成立

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