2015年高考理数真题试卷（北京卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：438 类型：高考真卷

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数i(2-i)=（）

A . 1+2i B . 1-2i C . -1+2i D . -1-2i

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2. 若x，y满足 $\text{[math]}$ ，则z=x+2y的最大值为（）

A . 0 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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3.
执行如图所示的程序框图，输出的结果为（），

A . （-2，2） B . （-4，0） C . （-4，4） D . （0，-8）

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4. (2020高一下·宁波期中) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，m是直线且m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ． "m $\text{[math]}$ "是" $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ "的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2020高二上·寿阳月考)
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A . 2+ $\text{[math]}$ B . 4+ $\text{[math]}$ C . 2+2 $\text{[math]}$ D . 5

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6. 设 $\text{[math]}$ 是等差数列.下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则（ $\text{[math]}$ ）( $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$

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7.
如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x) $\text{[math]}$ log₂(x+1)的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8.
汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）

A . 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B . 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C . 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D . 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分

9. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为 (用数字作答)。

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 在极坐标系中，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 .

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12. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = ．

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13. 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 则x= ： y= .

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14.
设函数 $\text{[math]}$
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为；
②若 $\text{[math]}$ 恰有2个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是 .

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三、解答题

15. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值．
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16. A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果a=25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a为何值时，A ， B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

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17.
如图，在四棱锥A-EFCB中， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面AEF $\text{[math]}$ 平面EFCB， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为EF的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；

（Ⅲ）若BE $\text{[math]}$ 平面AOC，求a的值．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）设实数k使得 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求k的最大值．

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19.
已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 都在椭圆 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点M．
1. （1）（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示）；
2. （2）（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为原点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，直线 $\text{[math]}$ 交X轴于点N．问：Y轴上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ (n=1，2，...)．记
集合 $\text{[math]}$ ．
1. （1）（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，写出集合M的所有元素；
2. （2）（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
3. （3）（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
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