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2015年高考理数真题试卷(湖北卷)

更新时间:2016-08-16 浏览次数:982 类型:高考真卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
  • 1. 为虚数单位,的共轭复数为(   )

    A . B . - C . 1 D . -1
  • 2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(   )

    A . 134石  B . 169石   C . 338石  D . 1365石
  • 3. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(    )

    A . B . C . D .
  • 4.

    , 这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(    )

    A . B . C . 对任意正数 D . 对任意正数
  • 5. 设. 若p:成等比数列;

    q:​,则(    )

    A . p是q的充分条件,但不是q的必要条件  B . p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C . p是q的充分必要条件  D . p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
  • 6. .已知符号函数是R上的增函数, , 则( )

    A . B . C . D .
  • 7. 在区间上随机取两个数 , 记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则 (    )

    A . B . C . D .
  • 8. 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线 , 则(    )

    A . 对任意的  B . 时,;当时, C . 对任意的  D . 时,;当时,
  • 9. 已知集合 , 定义集合 , 则中元素的个数为(    )

    A . 77  B . 49  C . 45  D . 30
  • 10. 设整数. 若存在实数 , 使得 , …, 

    同时成立 , 则正整数n的最大值是(    )

    A . B . 4 C . 5 D . 6
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分
三、解答题
  • 16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:


    0





    x







    0

    5


    -5

    0

     (Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;

    (Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象. 若图象的一个对称中心为 , 求的最小值. 


  • 17. 设等差数列的公差为d,前n项和为 , 等比数列的公比为q.已知

    1. (1) 求数列的通项公式;

    2. (2) 当时,记 , 求数列的前项和 .  

  • 18. 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

    如图,在阳马P-ABCD中,侧棱底面 , 且 , 过棱的中点 , 作于点 , 连接 

    1. (1) 证明:平面 . 试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写

      出结论);若不是,说明理由;

    2. (2) 若面与面所成二面角的大小为 , 求的值.

  • 19.

    某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

    (Ⅰ)求Z的分布列和均值;该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.

            (Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

  • 20. 一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且 . 当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系。

    1. (1) 求曲线C的方程;

    2. (2) 设动直线与两定直线分别交于两点.若直线总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

  • 21. 已知数列的各项均为正数,为自然对数的底数.

    1. (1) 求函数的单调区间,并比较的大小;

    2. (2) 计算 , 由此推测计算的公式,并给出证明;

    3. (3) 令 , 数列的前项和分别记为 , 证明:.

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