2015年高考文数真题试卷（天津卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：268 类型：高考真卷

一、选择题：每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数 $\text{[math]}$ 的最大值为

A . 7 B . 8 C . 9 D . 14

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3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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4. 设 $\text{[math]}$ ，则" $\text{[math]}$ "是" $\text{[math]}$ "的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，且双曲线的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相切，则双曲线的方程为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6.
如图，在圆 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 的三等分点，弦 $\text{[math]}$ 分别经过点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为实数）为偶函数，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的零点的个数为

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9. $\text{[math]}$ 是虚数单位，计算 $\text{[math]}$ 的结果为 .

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10.
一个几何体的三视图如图所示（单位： $\text{[math]}$ ），则该几何体的体积为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为实数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为。

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 的值为时 $\text{[math]}$ 取得最大值。

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13. 在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为。

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内单调递增，且函数 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则 $\text{[math]}$ 的值为。

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三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛
1. （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数
2. （2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 $\text{[math]}$ ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能的结果；（2）设 $\text{[math]}$ 为事件“编号为 $\text{[math]}$ 的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率
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16. $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，问：（1）求 a 和 sin C 的值（2）求 cos 2 A + π 6 的值
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值
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17.
如图，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点。
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
3. （3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小
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18. 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列， $\text{[math]}$ 是等差数列，且 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式
2. （2）设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于点 $\text{[math]}$ ），过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 异于点 $\text{[math]}$ ）直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ MQ
  （i）求λ的值
  （ii）若 $\text{[math]}$ ，求椭圆的方程
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 问
（1）求 f x 的单调区间（2）设曲线 y = f x 与 x 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，曲线在点 P 处的切线方程为 y = $\text{[math]}$ ，求证：对于任意的正实数 x ，都有 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间
2. （2）设曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求证：对于任意的正实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）有两个正实数根 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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