2015年高考文数真题试卷（湖南卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：846 类型：高考真卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.
1. 已知 $\text{[math]}$ =1+i（i为虚数单位），则复数z= ( )
A . 1+i B . 1-i C . -1+i D . -1-i
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2.
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数为( )

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. 设x $\text{[math]}$ R，则“x>1”是“x²>1”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 若变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=2x-y的最小值为( )

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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5.
执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若实数a，b 满足 $\text{[math]}$ ，则ab的最小值为( )

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . 4

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8. 设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是( )

A . 奇函数，且在（0，1）上是增函数 B . 奇函数，且在（0，1）上是减函数 C . 偶函数，且在（0，1）上是增函数 D . 偶函数，且在（0，1）上是减函数

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9. (2019高一下·广州期末) 已知点A，B，C在圆x²+y²=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则 $\text{[math]}$ 的最大值为( )

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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10.
某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（）（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. 已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A $\text{[math]}$ (C_uB)= .

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12. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，则曲线C的直角坐标方程为 .

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13. 若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r= ，

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14. 若函数f(x)=|2^x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是 .

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15. 已知 $\text{[math]}$ >0，在函数y=2sin $\text{[math]}$ x与y=2cos $\text{[math]}$ x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = 、

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三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A₁ ， A₂和1个白球B的甲箱与装有2个红球a₁ ， a₂和2个白球b₁ ， b₂的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
1. （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
2. （2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
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17. 设 $\text{[math]}$ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA
1. （1）证明：sinB=cosA
2. （2）若sinC-sinAcosB= $\text{[math]}$ ，且B为钝角，求A,B，C
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18.
如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点。
1. （1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
2. （2）若直线AC₁与平面AA₁BB₁所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。
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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1, a₂=2，且a_n+1=3S_n-S_n+1+3(n $\text{[math]}$ )
1. （1）证明：a_n+2=3a_n；
2. （2）求S_n
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20. 已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂： $\text{[math]}$ (a>b>0)的一个焦点，C₁与C₂的公共弦长为2 $\text{[math]}$ ，过点F的直线l与C₁相交于A， B两点，与C₂相交于C，D两点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同向.
1. （1）求C₂的方程
2. （2）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率
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