2015年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：294 类型：高考真卷

一、单项选择：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2） $\text{[math]}$ 0}，则A $\text{[math]}$ B=()

A . A={-1，0} B . {0，1} C . {-1，0，1} D . {0，1，2}

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2. 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）

A . -1 B . 0 C . 1 D . 2

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3.
根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（）

A . 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B . 2007年我国治理二氧化硫排放显现 C . 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

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4. (2021高三上·深圳月考)
已知等比数列{a_n}满足a_1=3，a₁₊a₃+a₅=21，则a₃+a₅₊a_7=（）

A . 21 B . 42 C . 63 D . 84

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5.
设函数f（x）= $\text{[math]}$ ,f（-2）+f（log₂12）=（）

A . 3 B . 6 C . 9 D . 12

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6.
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 8 C . 4 $\text{[math]}$ D . 10

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8. (2020高一下·开封期末)
右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）

A . 0 B . 2 C . 4 D . 14

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9. 已知A，B是球O的球面上两点， $\text{[math]}$ AOB=90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体检的最大值为36，则球O的表面积为（）

A . 36 $\text{[math]}$ B . 64 $\text{[math]}$ C . 144 $\text{[math]}$ D . 256 $\text{[math]}$

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10.
如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 $\text{[math]}$ BOP=x，将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图像大致为（）

A . B . C . D .

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11. 已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上， $\text{[math]}$ ABM为等腰三角形，且顶角为120 ，则E的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12.
设函数f^‘（x）是奇函数f（x）（x $\text{[math]}$ R）的导函数，f（-1）=0，当x $\text{[math]}$ 0时，xf'（x）-f（x） $\text{[math]}$ 0，则使得f（x） $\text{[math]}$ 0成立的x的取值范围是（）

A . （- $\text{[math]}$ ， -1） $\text{[math]}$ （0，1） B . （-1，0） $\text{[math]}$ （1，+ $\text{[math]}$ ） C . （- $\text{[math]}$ ， -1） $\text{[math]}$ （-1，0） D . （0，1） $\text{[math]}$ （1，+ $\text{[math]}$ ）

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不平行，向量 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ =

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14. 若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ .则z=x+y的最大值为

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15. （a+x）（1+x）⁴的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a= 。

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16. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1 ，则S_n= .

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三、解答题

17. $\text{[math]}$ ABC中，D是BC上的点，AD平分 $\text{[math]}$ BAC， $\text{[math]}$ ABD面积是 $\text{[math]}$ ADC面积的2倍
1. （1）（I）求 $\text{[math]}$
2. （2） (II)若AD=1，DC= $\text{[math]}$ ，求BD和AC的长
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18. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
1. （1）
  （I）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）
2. （2）（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
  满意度评分
  低于70分
  70分到89分
  不低于90分
  满意度等级
  不满意
  满意
  非常满意
  记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
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19.
如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，点E、F分别在A₁B_1、C₁D_1上，A1E=D_1F=4，过点E，F的平面 $\text{[math]}$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
1. （1）（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
2. （2）（Ⅱ）求直线AF与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值
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20. 已知椭圆C：9x²+y²=m²（m $\text{[math]}$ 0），直线l不过原点O且不平行于坐轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
1. （1） (I)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
2. （2）（II）若l过点( $\text{[math]}$ ， m)延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．
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21. 设函数f（x）=e^mx+x²-mx
1. （1）（I）证明：f（x）在（- $\text{[math]}$ ， 0）单调递减，在（0，+ $\text{[math]}$ ）单调递增；
2. （2）（II）若对于任意x₁ ， x₂ $\text{[math]}$ [-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）| $\text{[math]}$ e-1，求m的取值范围。
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22.

如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与 $\text{[math]}$ ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点
1. （1）（Ⅰ）证明：EF||BC
2. （2）（Ⅱ）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=2 $\text{[math]}$ ，求四边形EBCF的面积
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23. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁： $\text{[math]}$ (t为参数，t≠0)，其中0 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C_{2：=2sin ，}C₃： $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$
1. （1）（Ⅰ）求C₂与C₁交点的直角坐标
2. （2）（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值
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24. 设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
1. （1）若ab $\text{[math]}$ cd，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是|a-b| $\text{[math]}$ |c-d|的充要条件
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