2016年高考理数真题试卷（北京卷）

更新时间：2016-06-14 浏览次数：498 类型：高考真卷

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. (2016·北京理) 已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）

A . {0，1} B . {0，1，2} C . {﹣1，0，1} D . {﹣1，0，1，2}

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2. (2016·北京理) 若x，y满足 $\text{[math]}$ ，则2x+y的最大值为（）

A . 0 B . 3 C . 4 D . 5

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3. (2016·北京理)
执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. (2016·北京理) 设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ )

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2016·北京理) 已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）

A . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ＞0 B . sinx﹣siny＞0 C . （ $\text{[math]}$ ）^x﹣（ $\text{[math]}$ ）^y＜0 D . lnx+lny＞0

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6. (2016·北京理)
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2016·北京理) 将函数 $\text{[math]}$ 图像上的点P（ $\text{[math]}$ ，t ）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若 P′位于函数y=sin2x的图像上，则（）

A . t= $\text{[math]}$ ，s的最小值为 $\text{[math]}$ B . t= $\text{[math]}$ ，s的最小值为 $\text{[math]}$ C . t= $\text{[math]}$ ，s的最小值为 $\text{[math]}$ D . t= $\text{[math]}$ ，s的最小值为 $\text{[math]}$

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8. (2016·北京理) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A . 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B . 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C . 乙盒中红球不多于丙盒中红球 D . 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9. (2016·北京理)
设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=。

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10. (2021高二下·电白期中) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为.（用数字作答）

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11. (2016·北京理) 在极坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ =.

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12. (2021高三上·福州期中) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为其前n项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =

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13. (2016·北京理) 双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=.

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14. (2016·北京理) 设函数 $\text{[math]}$
①若a=0，则f(x)的最大值为；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是。

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三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15. (2016·北京理) 在 $\text{[math]}$ ABC中， $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小
2. （2）求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最大值
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16. (2016·北京理) A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
A班
6    6.5    7     7.5      8
B班
6    7      8     9      10    11    12
C班
3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5
1. （1）试估计C班的学生人数；
2. （2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
3. （3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 $\text{[math]}$ ，表格中数据的平均数记为 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小，（结论不要求证明）
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17. (2016·北京理)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD $\text{[math]}$ 平面ABCD，PA $\text{[math]}$ PD ，PA=PD，AB $\text{[math]}$ AD，AB=1，AD=2，AC=CD= $\text{[math]}$ ，
1. （1）求证：PD $\text{[math]}$ 平面PAB；
2. （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
3. （3）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由。
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18. (2016·北京理) 设函数f(x)=x $\text{[math]}$ +bx，曲线y=f(x)在点 (2，f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，
1. （1）求a，b的值；
2. （2）求f(x)的单调区间。
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19. (2016·北京理) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a>b>0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，A（a，0），B(0，b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl $\text{[math]}$ lBMl为定值。
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20. (2016·北京理) 设数列A： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ,… $\text{[math]}$ (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
1. （1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
2. （2）证明：若数列A中存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ ，则G（A） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明：若数列A满足 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤1（n=2,3, …,N）,则GA．的元素个数不小于 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 。
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