高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基...

更新时间：2021-03-10 浏览次数：163 类型：同步测试

一、单选题

1. 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为上底面A₁C₁的中心，若 $\text{[math]}$ ，则x，y的值是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 已知三棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱与底面边长都相等， $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的射影为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 中，AC与BD的交点为点M， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列向量中与 $\text{[math]}$ 相等的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知空间四点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 4 B . 1 C . 10 D . 11

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的夹角 $\text{[math]}$ 为（）.

A . 30° B . 45° C . 60° D . 以上都不对

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7. 空间四边形 $\text{[math]}$ 的各边和对角线均相等， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，那么（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小不能比较

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8. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的中心，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离为（）.

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）.
①若三个非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不能构成空间的一个基底，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面；②若两个非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不共线的向量，而 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 构成空间的一个基底.

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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11. 若向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的起点与终点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ $\text{[math]}$ 是空间任一点），则能使向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在空间四点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）.

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点不共线 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面，但不共线 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点不共面 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点中任意三点不共线

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13. 已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ =-2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$

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二、填空题

14. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的最大值为.

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17. 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. 如图，在空间四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为对角线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为基底，则 $\text{[math]}$ ．

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19. 已知空间的个基底 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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三、解答题

20. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，G是 $\text{[math]}$ 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
1. （1）用向量 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ，并证明你的结论；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，请写出点P在 $\text{[math]}$ 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
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21. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D，E分别是 $\text{[math]}$ 的中点.求证：
1. （1） $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .(用向量方法证明)
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