2021年高考数学真题试卷（天津卷）

更新时间：2021-07-09 浏览次数：845 类型：高考真卷

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2021·天津) 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不允分也不必要条件

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3. (2022高二下·浙江月考) 函数 $\text{[math]}$ 的图像大致为（）

A . B . C . D .

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4. (2021·天津) 从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： $\text{[math]}$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $\text{[math]}$ 内的影视作品数量是（）

A . 20 B . 40 C . 64 D . 80

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5. (2021·天津) 设 $\text{[math]}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·天津) 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\text{[math]}$ ，两个圆锥的高之比为 $\text{[math]}$ ，则这两个圆锥的体积之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·天津) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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8. (2021·天津) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 $\text{[math]}$ ．则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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9. 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ .

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二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10. (2024高二下·河北期末) i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ．

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11. (2021·天津) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数是．

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12. (2022高二上·如皋开学考) 若斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与y轴交于点A ，与圆 $\text{[math]}$ 相切于点B ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2021·天津) 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．

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15. (2021·天津) 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $\text{[math]}$ 且交AB于点E ． $\text{[math]}$ 且交AC于点F ，则 $\text{[math]}$ 的值为； $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．

16. (2021·天津) 在 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2021·天津) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正正弦值．
3. （3）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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18. (2021高二上·福州期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．
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19. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ .
  （i）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列；
  
  （ii）证明 $\text{[math]}$
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20. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程：
2. （2）证明 $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点
3. （3）若存在a ，使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 成立，求实数b的取值范围．
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