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全国历年中考数学真题精选汇编:锐角三角函数2

更新时间:2021-07-09 浏览次数:112 类型:二轮复习
一、单选题
  • 1. (2021·泰安) 如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点ABCDE在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1:2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据: ≈1.732)( )

    A . 136.6米 B . 86.7米 C . 186.7米 D . 86.6米
  • 2. (2020九上·台儿庄期末) 如图所示, 的顶点在正方形网格的格点上,则 的值为(    )

    A . B . C . 2 D .
  • 3. 已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下),按下的第一个键是(     )
    A . B . C . D .
  • 4. (2023·杭州模拟) 如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于(    )

    A . asinx+bsinx B . acosx+bcosx C . asinx+bcosx. D . acosx+bsinx
  • 5. (2018·绵阳) 一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(     )(结果保留小数点后两位)(参考数据:
    A . 4.64海里 B . 5.49海里 C . 6.12海里 D . 6.21海里
  • 6. (2017·深圳)

    如图,学校环保社成员想测量斜坡 旁一棵树 的高度,他们先在点 处测得树顶 的仰角为 ,然后在坡顶 测得树顶 的仰角为 ,已知斜坡 的长度为 的长为 ,则树 的高度是(   )


    A . B . 30 C . D . 40
  • 7. (2020九上·合肥月考)

    如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合),作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则BE+CF的值(  )


    A . 不变 B . 增大 C . 减小 D . 先变大再变小
二、填空题
  • 8. (2020·南通) 如图,测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置,在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m,则建筑物AB的高度约为m.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)

  • 9. (2019·金华) 图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图,ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,∠E=∠F=90°,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上.两门关闭时(图2),A,D分别在E,F处,门缝忽略不计(即B,C重合);两门同时开启,A,D分别沿E→M,F→N的方向匀速滑动,带动B,C滑动;B到达E时,C恰好到达F,此时两门完全开启。已知AB=50cm,CD=40cm.

    1. (1) 如图3,当∠ABE=30°时,BC= cm.
    2. (2) 在(1)的基础上,当A向M方向继续滑动15cm时,四边形ABCD的面积为cm2
  • 10. (2019九下·建湖期中) 在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则tan∠BOD的值等于

  • 11.

    如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ= ,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为


三、解答题
  • 12. (2022·沂水模拟) 在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1,参考数据tan37°≈0.75,tan53°≈1.33, ≈1.73)

  • 13. (2023九上·东平月考) 如图,某海岸边有B,C两码头,C码头位于B码头的正东方向,距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发,甲船向位于A岛正北方向的B码头航行,乙船向位于A岛北偏东 方向的C码头航行,当甲船到达距B码头30海里的E处时,乙船位于甲船北偏东 方向的D处,求此时乙船与C码头之间的距离.(结果保留根号)

  • 14. (2021·娄底模拟) 如图,小岛 都在码头 的正北方向上,它们之间距离为 ,一艘渔船自西向东匀速航行,行驶到位于码头 的正西方向 处时,测得 ,渔船速度为 ,经过 ,渔船行驶到了 处,测得 ,求渔船在 处时距离码头 有多远?(结果精确到

    (参考数据:

  • 15. (2021·青山模拟) 为了丰富学生的文化生活,学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图,学校在点B处,A位于学校的东北方向,C位于学校南偏东30°方向,C在A的南偏西15°方向 处.学生分成两组,第一组前往A地,第二组前往C地,两组同学同时从学校出发,第一组乘客车,速度是 ,第二组乘公交车,速度是 ,两组同学到达目的地分别用了多长时间?哪组同学先到达目的地?请说明理由(结果保留根号)

  • 16. (2020·泰州) 我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动,小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来,他在高出水面 处测得在 处的龙舟俯角为 ;他登高 到正上方的 处测得驶至 处的龙舟俯角为 ,问两次观测期间龙舟前进了多少?(结果精确到 ,参考数据:

  • 17. (2020·威海) 居家学习期间,小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图,她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 ,底部的俯角为 :又用绳子测得测角仪距地面的高度 .求该大棱的高度(结果精确到 )(参考数据:

  • 18. (2020·吉林) 如图,某班数学小组测量塔的高度,在与塔底部B相距 的C处,用高 的测角仪 测得该塔顶端 的仰角 .求塔 的高度(结果精确到 ).(参考数据:

  • 19. (2020·营口) 如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据: ≈1.73)

  • 20. 如图,在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站,A在B的正西方向,AB=2km,从观测站A测得船C在北偏东45°的方向,从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

  • 21. (2020·通辽) A处看一栋楼顶部的仰角为 ,看这栋楼底部的俯角为 A处与楼的水平距离 ,若 ,求这栋楼高.

  • 22. (2021·成都模拟) 某区域平面示意图如图所示,点D在河的右侧,红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中,在C处测得点D位于西北方向,又在A处测得点D位于南偏东65°方向,另测得 ,求出点D到AB的距离.(参考数据

  • 23. (2019·聊城) 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图①所示, 部分),在起点 处测得大楼部分楼体 的顶端 点的仰角为 ,底端 点的仰角为 ,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 处,测得顶端 的仰角为 (如图②所示),求大楼部分楼体 的高度约为多少米?(精确到1米)(参考数据:

  • 24. (2021·东坡模拟) 超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为,在一条笔直的高速公路MN上,小型车限速为每小时120千米,设置在公路旁的超速监测点C,现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处,7秒后,测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处,已知BC=200米,B在A的北偏东75°方向,请问:这辆车超速了吗?通过计算说明理由.(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)

  • 25. (2017·宿迁)

    如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°,面向小岛方向继续飞行10km到达B处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度(结果保留根号).

  • 26. (2017·兰州) “兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前,是黄河上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥“之美誉.它像一部史诗,记载着兰州古往今来历史的变迁.桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥.

    小芸和小刚分别在桥面上的A,B两处,准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m,小芸在A处测得∠CAB=36°,小刚在B处测得∠CBA=43°,求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离.(结果精确到0.1m)(参考数据sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)

  • 27. (2022·海拉尔模拟)

    如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)

    (参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81, ≈1.41, ≈1.73, ≈2.24)

  • 28. (2019·娄底模拟)

    如图,小丽假期在娱乐场游玩时,想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度.她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度是i=1:1(即tan∠CED=1)的斜坡步行15分钟抵达C处,此时,测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分,图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上.求出娱乐场地所在山坡AE的长度.(参考数据:≈1.41,结果精确到0.1米)

  • 29.

    如图,课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE,DE所在直线与水平线AN垂直.他们在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿着射线AN方向前进50米到达B处,此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米?(结果精确到个位)(参考数据:sin25.6°≈0.4,cos25.6°≈0.9,tan25.6°≈0.5,sin61.4°≈0.9,cos61.4°≈0.5,tan61.4°≈1.8)

四、综合题
  • 30. (2020·铁岭) 如图,小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ,在观测点 处测得大桥主架顶端 的仰角为30°,测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°,观测点与大桥主架的水平距离 为60米,且 垂直于桥面.(点 在同一平面内)

      

    (参考数据

    1. (1) 求大桥主架在桥面以上的高度AM;(结果保留根号)
    2. (2) 求大桥主架在水面以上的高度 .(结果精确到1米)
  • 31. (2023·信宜模拟) 一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向,距A海岛60海里的B处出发,以每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.(参考数据:

    1. (1) 这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险?请说明理由.
    2. (2) 渔船航行3小时后到达C处,求AC之间的距离.
  • 32. (2020·南县) 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 ,高 米,斜坡 的坡度 ,此处大堤的正上方有高压电线穿过, 表示高压线上的点与堤面 的最近距离(P、D、H在同一直线上),在点C处测得

    1. (1) 求斜坡 的坡角
    2. (2) 电力部门要求此处高压线离堤面 的安全距离不低于18米,请问此次改造是否符合电力部门的安全要求?(参考数据:
  • 33. (2020·昆明) (材料阅读)2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个规标,找到2个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所以当两个测量点的水平距离大于300m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f= (其中d为两点间的水平距离,R为地球的半径,R取6400000m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.

    (问题解决)某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距离d=800m,测量仪AC=1.5m,觇标DE=2m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°,测量点A处的海拔高度为1800m.

    1. (1) 数据6400000用科学记数法表示为
    2. (2) 请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01m)

      (参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

  • 34. (2020·宜宾) 如图, 两楼地面距离BC为 米,楼AB高30米,从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度.

    1. (1) 求 的大小;
    2. (2) 求楼CD的高度(结果保留根号).
  • 35. (2020·内江) 为了维护我国海洋权力,海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东 方向上,海监船继续向东航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东 方向上.

    1. (1) 求B处到灯塔P的距离;
    2. (2) 已知灯塔P的周围50海里内有暗礁,若海监船继续向正东方向航行是否安全?
  • 36. (2020·连云港) 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈,筒车与水面分别交于点A、B,筒车的轴心 距离水面的高度 长为 ,简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间.

       

    1. (1) 经过多长时间,盛水筒 首次到达最高点?
    2. (2) 浮出水面3.4秒后,盛水筒P距离水面多高?
    3. (3) 若接水槽 所在直线是 的切线,且与直线 交于点M, .求盛水筒P从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 上.(参考数据:
  • 37. (2019·湖州) 如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,连结AC,OA=3,tan∠OAC= ,D是BC的中点.

    1. (1) 求OC的长和点D的坐标;
    2. (2) 如图2,M是线段OC上的点,OM=  OC,点P是线段OM上的一个动点,经过P,D,B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连结DE交AB于点F

      ①将△DBF沿DE所在的直线翻折,若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标;

      ②以线段DF为边,在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点O运动到点M时,点G也随之运动,请直接写出点G运动路径的长.

  • 38. (2017·赤峰)

    如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C= ,则

    SABC= BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C,

    即SABC= absin∠C

    同理SABC= bcsin∠A

    SABC= acsin∠B


    通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:


    如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则

    a2=b2+c2﹣2bccos∠A

    b2=a2+c2﹣2accos∠B

    c2=a2+b2﹣2abcos∠C

    用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:

    1. (1)

      如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求SDEF和DE2

      解:SDEF= EF×DFsin∠F=

      DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=

    2. (2)

      如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4 , 求证:S1+S2=S3+S4

  • 39. (2021·内江模拟) 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60°,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米,∠BCA=30°,且B,C,D三点在同一直线上.


    1. (1) 求树DE的高度;
    2. (2) 求食堂MN的高度.
  • 40. (2014·连云港) 在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达扫描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同旋转速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处旋转开始计时,旋转1秒,此时光线AP交BC边于点M,BM的长为(20 ﹣20)cm.

    1. (1) 求AB的长;
    2. (2) 从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时光线AP与BC边的交点在什么位置?若旋转2014秒,交点又在什么位置?请说明理由.

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