北京市海淀区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷

更新时间：2022-04-28 浏览次数：96 类型：期中考试

一、单选题

1. (2021高二下·海淀期中) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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2. (2021高二下·海淀期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 12 C . 14 D . 16

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3. (2021高二下·海淀期中) 函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高二下·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的极小值点的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021高二下·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 若对于任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高二下·海淀期中) 科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量 $\text{[math]}$ 可以近似看作时间 $\text{[math]}$ 的函数，记作 $\text{[math]}$ ，其瞬时变化率 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数．在下列选项所给函数中， $\text{[math]}$ 可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高二下·海淀期中) 若函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . {2} C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. (2021高二下·海淀期中) 一个小球作简谐振动，其运动方程为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ 是小球相对于平衡点的位移， $\text{[math]}$ (单位： $\text{[math]}$ )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021高二下·海淀期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ （）

A . 有最大项，有最小项 B . 有最大项，无最小项 C . 无最大项，有最小项 D . 无最大项，无最小项

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10. (2021高二下·海淀期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2021高二下·海淀期中) 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为．

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12. (2021高二下·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2021高二下·海淀期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 能说明“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”为假命题的数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ．(写出一个即可)

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14. (2021高二下·海淀期中) 物体的温度 $\text{[math]}$ 在恒定温度 $\text{[math]}$ 环境中的变化模型为： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示物体所处环境的温度， $\text{[math]}$ 是物体的初始温度， $\text{[math]}$ 是经过 $\text{[math]}$ 小时后物体的温度，且 $\text{[math]}$ 现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度(填写正确选项的序号)．
①越来越大；②越来越小；③恒定不变．

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15. (2021高二下·海淀期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

16. (2021高二下·海淀期中) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前20项和 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在数列 $\text{[math]}$ 中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值(写出一组即可)；若不存在，请说明理由．
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17. (2021高二下·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. (2021高二下·海淀期中) 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．模型假设：
1. （1）建立模型
  记圆柱体积为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，底面半径为 $\text{[math]}$ ，上盖､下底和侧壁的厚度分别为 $\text{[math]}$ ，
  
  金属用料总量为C．
  
  由几何知识得到如下数量关系：
  
  $\text{[math]}$ ①
  
  $\text{[math]}$ ②
  
  由①得 $\text{[math]}$ ，代入②整理得： $\text{[math]}$ ．
  
  因为 $\text{[math]}$ 都是常数，不妨设 $\text{[math]}$ ，
  
  则用料总量的函数简化为 $\text{[math]}$ ．
  
  请写出表格中代入整理这一步的目的是：．
2. （2）求解模型：
  所以，在 $\text{[math]}$ (用 $\text{[math]}$ 表示)时， $\text{[math]}$ 取得最小值，即在此种情况下用料最省．
3. （3）检验模型：
  小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，代入（3）的模型结果，经计算得 $\text{[math]}$ 经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径 $\text{[math]}$ 差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
  模型评价与改进：
  模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：．
  
  相应改进措施为：．
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19. (2021高二下·海淀期中) 集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若集合 $\text{[math]}$ 中元素个数为 $\text{[math]}$ ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 $\text{[math]}$ 为“好集合”.
1. （1）判断集合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是否为“好集合”；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 是“好集合”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3） “好集合” $\text{[math]}$ 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
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