①∠BAD的度数是 ;
②当旋转时间x=秒时,射线BN过点A;
①如图3,若点P在CD与EF之间,且∠APB=126°,求旋转时间x的值;
②若旋转时间x<24,求∠APB的度数(直接写出用含x的代数式表示的结果).
小明想到一种方法,但是没有解答完:
如图2,过 作 , .
.
. .
…………
请你帮助小明完成剩余的解答.
如图 , ,点 在射线 上运动, , .
①当点 在 、 两点之间时, , , 之间有何数量关系?请说明理由.
②当点 在 、 两点外侧时(点 与点 不重合),请直接写出 , , 之间的数量关系.
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB , 通过平行线性质,可得∠APC=.
当点P在A、B两点之间运动时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由.
①若∠EAB=22°,∠EDC=61°,则∠AED的度数为 ▲ ;
②若∠EAB=32°,∠EDC=45°,则∠AED的度数为 ▲ ;
③猜想图a中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由.
解:过点P作PM∥AB
∵AB∥CD(已知)
∴PM∥CD,
∴∠B+∠1=180°,.
∴∠C+∠2=180°
∵∠BPC=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC=360°
① 如图2,当点D在点B右侧时,用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系,并证明;
② 当点D与点B不重合,且∠ABM+∠EAF=150°时,直接写出∠EAF的度数 .
如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线m∥n,直线m分别交OM、ON于点A、D,直线n分别交OM、ON于点B、C,点P在射线OM上运动.
①当点P在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时,设∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.则∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由;
②若点P不在线段AB上运动时(点P与点A、B、O三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系.
证明:过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥CD( ),
∴∠C=∠CEF( ),
∵EF∥AB(作图),
∴∠B= ▲ , ( ),
∴∠B+∠C=_ ▲ (等量代换),即∠B+∠C=∠BEC.
在同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
如图1,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,则有∠B=∠BOD.
又因为∠BOD是△POD的外角,则有∠BOD=∠BPD+∠D,
所以∠BPD=∠B-∠D
操作发现
结论应用
阅读下面内容,并解答问题
已知:如图1, , . 求证: .
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后,尝试对图形进行变式,继续做拓展探究,看看有什么新发现?
请你在小颖操作探究的基础上,继续完成下面的问题:
①猜想图①中、与之间的数量关系并加以证明;
②利用图③探究,在拖动点至的上方或的下方时,、与之间还存在其它数量关系,请直接写出、与之间的数量关系: ▲ (写出一种即可).
①连接FA,探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系,并证明你的结论;
②点G为线段CE上一点且∠CAG=3∠EAG,当∠GAF+∠AEC=90°时,求 的值.