杨一：第99个数是99；
张三：第2022个数是2；
李四：前101个数的和为2652；
王五，前200个数中有7个完全平方数；
四个结论正确的有（ ）个
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6
图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；
图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；
由此我们可以提出一个这样的问题：
图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？
答：10个
请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，并写出答案．
例：将 化为分数形式，
由于 ，设
，①
得 ，②
②−①得 ，解得
，于是得
.
同理可得 ，
.
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
（类比应用）
，
；(注
，
）
若已知 ，则
.
⇒ +（
）2＝1﹣（
）2；
⇒ +（
）2+（
）3=
⇒ +（
）2+（
）3+（
）4＝
（规律探究）观察下图：
根据以上发现，用含n的代数式填空： +（
）2+（
）3+（
）4+（
）5+…+（
）n＝．
（解决问题）根据以上发现，计算： =．
（问题）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n矩形表示矩形的邻边是2和n）
（探究）不妨假设有an种不同的镶嵌方案．为探究an的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a1＝1．
探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a2＝2．
探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；
二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；
如图（3）．所以，a3＝1+2＝3．
一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有 种镶嵌方案；
二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有 种镶嵌方案；
所以，a4＝ ．
（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）
……
（结论）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？
（直接写出an与an﹣1 ， an﹣2的关系式，不写解答过程）．
（应用）用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有 ▲ 种不同的镶嵌方案．
问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：
n条直线最多可以把平面分割成多少个部分?
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
①请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程(只写推导过程，不画图)；
②根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成几个部分.
问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；
空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分；
空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分；
空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；
空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
③请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分?”的推导过程(只写推导过程，不画图)；
④根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成几个部分；
⑤设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n-1个平面最多可以把空间分割成Sn−1个部分，前面的递推规律可以用Sn−1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn等于多少.
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有 种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， ．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点 ，
与
连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有
种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点 ，
与
连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为
种分割方案．
第3类：如图⑤，用点 ，
与
连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以， （种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用 ，
与
连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有
种不同的分割方案，所以，此类共有
种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用 ，
与
连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有
种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
第3类：如图⑧，用 ，
与
连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有
种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
第4类：如图，用 ，
与
连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有
种不同的分割方案．所以，此类共有
种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 与
的关系为
，共有种不同的分割方案．
……
（结论）用 边形的对角线把
边形分割成
个三角形，共有多少种不同的分割方案
？（直接写出
与
之间的关系式，不写解答过程）
（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
