2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章二次函数（优生集训）4-在线组卷

1. (2021九上·江汉月考) 九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x＋40	90
每天销售（件）	200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程.若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝.

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2. (2021九上·武汉月考) 如图1，已知抛物线y＝ax²经过点（﹣2，1）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝ $\text{[math]}$ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S_△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S_△PCD的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.

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3. (2021九上·武汉月考) 已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）.

（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标.
（3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点.

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4. (2021九上·武昌月考) 已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c的顶点（0，1）.

（1）该抛物线的解析式为；
（2）如图1，直线y＝kx＋kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t²的大小关系.
（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM＋ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

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5. (2021九上·遵义月考) 路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季.已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下： $\text{[math]}$ ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠 $\text{[math]}$ 元给公益事业.在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.

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6. (2021九上·遵义月考) 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax²＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上.

（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax²＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.

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7. (2022九上·广州期中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上且位于直线 $\text{[math]}$ 上方的一动点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点M，使 $\text{[math]}$ 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.

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8. (2021九上·长沙开学考) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x²+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.

（1） n=3m-9（用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3） ①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，求m的值.

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9. (2021·内江) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式与直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点且在直线 $\text{[math]}$ 上方，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 面积最大时点 $\text{[math]}$ 的坐标及该面积的最大值；
（3）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的点，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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10. (2024九上·绍兴月考) 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $\text{[math]}$ （米）与小钢球运动时间 $\text{[math]}$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $\text{[math]}$ （米）与它的运动时间 $\text{[math]}$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

（1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（2）求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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11. (2021·梧州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.

（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标.

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12. (2022·阳谷模拟) 已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣ $\text{[math]}$ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D.

（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S_△PBC＝ $\text{[math]}$ S_△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

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13. (2021·铜仁) 某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）.当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车.根据市场行情，现在决定进行降价销售.通过市场调查得到了每辆降价的费用 $\text{[math]}$ （万元）与月销售量 $\text{[math]}$ （辆）（ $\text{[math]}$ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

$\text{[math]}$	4	5	6	7	8
$\text{[math]}$	0	0.5	1	1.5	2

（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系式 $\text{[math]}$ ；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- $\text{[math]}$ -进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量 $\text{[math]}$ 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

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14. (2021·鄂州) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点Q是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点O、A重合）.

（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，在第一象限内将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点O的对应点为点E.若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为点C.
①若点C在 $\text{[math]}$ 内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 $\text{[math]}$ 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. (2022九下·鄄城期中) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，平行四边形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边与y轴交于E点，F是 $\text{[math]}$ 的中点，B、C、D的坐标分别为 $\text{[math]}$ .

（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\text{[math]}$ 上；
（3）设过F与 $\text{[math]}$ 平行的直线交y轴于Q，M是线段 $\text{[math]}$ 之间的动点，射线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于另一点P，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求P的坐标.

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16. (2021·十堰) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 $\text{[math]}$ 交抛物线于M，连 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 $\text{[math]}$ 于D，若 $\text{[math]}$ ，求N点的坐标.

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17. (2024·恩施模拟) 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与直线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2） $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点， $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. (2021·株洲) 已知二次函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求方程 $\text{[math]}$ 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①求证： $\text{[math]}$ ；

②连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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19. (2023·随州模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边）.

（1） $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标是 $\text{[math]}$ ，直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

②如图（2），若点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且 $\text{[math]}$ 的面积是12，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）如图（3）， $\text{[math]}$ 是原点 $\text{[math]}$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （不含端点）于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线只有一个公共点，求证 $\text{[math]}$ 的值是定值.

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20. (2021·黄冈) 红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 $\text{[math]}$ 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.

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21. (2021·黄冈) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，点 $\text{[math]}$ 是x轴上的动点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 $\text{[math]}$ ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 $\text{[math]}$ 于点G.过点P作 $\text{[math]}$ 于点D，当n为何值时， $\text{[math]}$ ；
（3）如图2，将直线 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 $\text{[math]}$ 的中点，然后将它向上平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到直线 $\text{[math]}$ .
① $\text{[math]}$ ▲ ；

②当点N关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在抛物线上时，求点N的坐标.

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22. (2023·济南模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 $\text{[math]}$ .在y轴上是否存在点F，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. (2021·成都) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为 $\text{[math]}$ .点B为抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点B的直线与抛物线交于另一点C.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等， $\text{[math]}$ ，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t， $\text{[math]}$ ，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当 $\text{[math]}$ 时，点C的横坐标的取值范围.

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24. (2022·曹妃甸模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

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25. (2021·遂宁) 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.

（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

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