2012年高考理数真题试卷（江苏卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：764 类型：高考真卷

一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. (2012·江苏理) 已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B=

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2. (2012·江苏理) 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．

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3. (2022高三上·河西期中) 设a，b∈R，a+bi= $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则a+b的值为．

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4. (2012·江苏理) 图是一个算法流程图，则输出的k的值是．

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5. (2012·江苏理) 函数f（x）= $\text{[math]}$ 的定义域为．

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6. (2012·江苏理) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．

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7. (2012·江苏理) 如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3cm，AA₁=2cm，则四棱锥A﹣BB₁D₁D的体积为 cm³ ．

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8. (2021高二上·聊城期中) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则m的值为．

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9. (2012·江苏理) 如图，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是

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10. (2012·江苏理) 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）= $\text{[math]}$ 其中a，b∈R．若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则a+3b的值为．

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11. (2012·江苏理) 设α为锐角，若cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，则sin（2α+ $\text{[math]}$ ）的值为．

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12. (2012·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．

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13. (2012·江苏理) 已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．

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14. (2012·江苏理) 已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2012·江苏理) 在△ABC中，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：tanB=3tanA；
2. （2）若cosC= $\text{[math]}$ ，求A的值．
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16. (2012·江苏理) 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁ ， D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．求证：
1. （1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
2. （2）直线A₁F∥平面ADE．
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17. (2012·江苏理) 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣ $\text{[math]}$ （1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
1. （1）求炮的最大射程；
2. （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
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18. (2012·江苏理) 若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值，则称x₀为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
1. （1）求a和b的值；
2. （2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；
3. （3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．
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19. (2012·江苏理) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（﹣c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e， $\text{[math]}$ ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．
  （i）若AF₁﹣BF₂= $\text{[math]}$ ，求直线AF₁的斜率；
  （ii）求证：PF₁+PF₂是定值．
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20. (2012·江苏理) 已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1= $\text{[math]}$ ，n∈N^* ，
1. （1）设b_n+1=1+ $\text{[math]}$ ，n∈N*，求证：数列{ $\text{[math]}$ }是等差数列；
2. （2）设b_n+1= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．
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三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）

21. (2012·江苏理)
1. （1）
  [选修4﹣1：几何证明选讲]
  如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．
  求证：∠E=∠C．
2. （2） [选修4﹣2：矩阵与变换]
  已知矩阵A的逆矩阵 $\text{[math]}$ ，求矩阵A的特征值．
3. （3） [选修4﹣4：坐标系与参数方程]
  在极坐标中，已知圆C经过点P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），圆心为直线ρsin（θ﹣ $\text{[math]}$ ）=﹣ $\text{[math]}$ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
4. （4） [选修4﹣5：不等式选讲]
  已知实数x，y满足：|x+y|＜ $\text{[math]}$ ，|2x﹣y|＜ $\text{[math]}$ ，求证：|y|＜ $\text{[math]}$ ．
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22. (2012·江苏理) 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．
1. （1）求概率P（ξ=0）；
2. （2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
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23. (2012·江苏理) 设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^* ．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈ $\text{[math]}$ A，则2x∉ $\text{[math]}$ A．
1. （1）求f（4）；
2. （2）求f（n）的解析式（用n表示）．
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