江苏省常州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-08-24 浏览次数：55 类型：期末考试

一、单选题

1. (2022高二下·常州期末) 甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（）

A . 6 B . 12 C . 24 D . 48

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2. (2022高二下·常州期末) 疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（）
附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．

A . 14 B . 16 C . 30 D . 32

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3. (2022高二下·常州期末) 现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高二下·常州期末) 已知二面角 $\text{[math]}$ ，其中平面的一个法向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的大小可能为（）

A . 60° B . 120° C . 60°或120° D . 30°

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5. (2022高二下·常州期末) 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件 $\text{[math]}$ 表示选出的两种中有一药，事件 $\text{[math]}$ 表示选出的两种中有一方，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二下·洛阳期中) $\text{[math]}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）

A . -40 B . -20 C . 20 D . 40

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7. (2022高二下·常州期末) 如图，在棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·常州期末) 数列{an}满足a₁＝1， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， b₁＝－λ，且数列{bn}满足bn_＋₁＞bn（n∈N*），则实数λ的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022高二下·常州期末) 北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：
冰雪运动的喜好
性别
合计
男性
女性
喜欢
140
m
140＋m
不喜欢
n
80
80＋n
合计
140＋n
80＋m
220＋m＋n
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数 $\text{[math]}$ ，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 列联表中n的值为60，m的值为120 B . 随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动 C . 有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关 D . 没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关

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10. (2022高二下·常州期末) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S₅＜S₆ ， S₆＝S₇ ， S₇＞S₈ ，则（）

A . S₅＜S₉ B . 该数列的公差d＜0 C . a₇＝0 D . S₁₁＜0

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11. (2022高二下·常州期末) 盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（）

A . A与B互为对立事件 B . A与C相互独立 C . C与D互斥 D . B与C相互独立

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12. (2022高二下·常州期末) 已知正四棱锥P－ABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（）

A . PA⊥OM B . 直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 平面OMN∥平面PCD D . 四棱锥P－ABCD的外接球的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高二下·常州期末) 已知数列{an}是等比数列，且a₁＋a₂＋a₃＝1，a₂＋a₃＋a₄＝3，则a₆＋a₇＋a₈＝．

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14. (2024高二下·广西期末) 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．

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15. (2022高二下·常州期末) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以P为球心 $\text{[math]}$ 为半径的球面与底面 $\text{[math]}$ 的交线长为．

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16. (2022高二下·常州期末) 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为.

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四、解答题

17. (2022高二下·常州期末) 已知正整数n≥2，（x＋3）n的展开式为anxn＋ $\text{[math]}$ ＋…＋a₁x＋a₀ ．
1. （1）若（x＋3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；
2. （2）若n＝2022，且ak是an，an_－₁ ， …，a₁ ， a₀中的最大值，求正整数k的值．
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18. (2022高二下·常州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足a₁＝3，a₂＝5，且 $\text{[math]}$ ， n∈N*．
1. （1）设bn＝an_＋₁－an，求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）若数列{an}满足 $\text{[math]}$ （n∈N*），求实数m的取值范围．
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19. (2022高二下·常州期末) 小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m²）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并计算得 $\text{[math]}$ ＝2400， $\text{[math]}$ ＝220， $\text{[math]}$ ＝42000， $\text{[math]}$ ＝8400．
附：在线性回归方程ŷ＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ x中， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ － $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为样本平均值．
1. （1）求y关于x的回归直线方程；
2. （2）已知服装店每天的经济效益W＝k $\text{[math]}$ ＋mx（k＞0，m＞0），该商场现有80~170 m²的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?
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20. (2022高二下·常州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的和 $\text{[math]}$ ．
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21. (2022高二下·常州期末) 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\text{[math]}$ ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ，第二个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
1. （1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
2. （2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
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22. (2022高二下·常州期末) 如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁为正方形，四边形AA₁C₁C为菱形，且∠AA₁C＝60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABB₁A₁ ，点D为棱BB₁的中点．
1. （1）求证：AA₁⊥CD；
2. （2）棱B₁C₁（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－A₁M－B₁的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
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