北京市海淀区2023届高三上学期数学期中考试试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：68 类型：期中考试

一、单选题

1. (2022高三上·海淀期中) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高三上·海淀期中) 在同一个坐标系中，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的图象可能是（）

A . B . C . D .

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3. (2022高三上·海淀期中) 已知向量 $\text{[math]}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . -4 D . $\text{[math]}$

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4. (2022高三上·海淀期中) 若等差数列 $\text{[math]}$ 和等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公比为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·海淀期中) 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列不等式中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高三上·海淀期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 与角 $\text{[math]}$ 均以 $\text{[math]}$ 为始边，它们的终边关于直线 $\text{[math]}$ 对称．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．甲同学将 $\text{[math]}$ 的图象向上平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到图象 $\text{[math]}$ ；乙同学将 $\text{[math]}$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ （纵坐标不变），得到图象 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恰好重合，则下列给出的 $\text{[math]}$ 中符合题意的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为奇函数”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. (2022高三上·海淀期中) 若P是 $\text{[math]}$ 内部或边上的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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10. (2022高三上·海淀期中) 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为 $\text{[math]}$ 的线段，第 $\text{[math]}$ 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第 $\text{[math]}$ 次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过 $\text{[math]}$ 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023·天津市模拟) 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2024高二下·东城期末) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

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13. (2022高三上·海淀期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方向相同，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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14. (2022高三上·海淀期中) 若函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象的对称中心完全重合，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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15. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的极值点个数为；
②若 $\text{[math]}$ 恰有两个极值点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. (2022高三上·海淀期中) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）等比数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ，在下列三个条件中选择一个，使得 $\text{[math]}$ 的每一项都是 $\text{[math]}$ 中的项．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $\text{[math]}$ 分．
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17. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
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18. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. (2023高一下·深圳期中) 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 $\text{[math]}$ 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（注：点A，B，C，D在同一平面内）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 之间的距离．
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20. (2022高三上·海淀期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个零点；
3. （3）若对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. (2022高三上·海淀期中) 对于一个m行n列的数表 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示数表中第i行第j列的数， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ）．对于给定的正整数t，若数表 $\text{[math]}$ 满足以下两个条件，则称数表 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ．
1. （1）以下给出数表1和数表2．
  数表1
  1
  1
  1
  0
  1
  0
  0
  0
  0
  数表2
  1
  1
  1
  1
  0
  1
  0
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  0
  1
  0
  0
  0
  0
  （i）数表1是否具有性质 $\text{[math]}$ ？说明理由；
  （ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；
2. （2）是否存在数表 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；
3. （3）给定偶数 $\text{[math]}$ ，对每一个 $\text{[math]}$ ，将集合 $\text{[math]}$ 中的最小元素记为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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