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当前位置：初中数学 /华师大版（2024） /九年级下册 /第27章圆 /27.4 正多边形和圆

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27.4 正多边形和圆华师大版九年级下册同步练习

更新时间：2023-01-07 浏览次数：54 类型：同步测试

一、单选题

1. (2022·崂山模拟) 如图，五边形 $\text{[math]}$ 是⊙O的内接正五边形，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·黄石) 我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·梁山模拟) 如图， $\text{[math]}$ 的内接正六边形 $\text{[math]}$ 的边心距为 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·龙湾模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条弦，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . 119° B . 112° C . 109° D . 108°

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5. (2022·玉环模拟) 如图，面积为18的正方形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，则弧 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022九上·拱墅期中) 如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 $\text{[math]}$ 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）

A . 6 B . 12 C . 24 D . 48

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7. (2020九上·上思月考) ⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（）

A . 1∶ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ∶ $\text{[math]}$ C . 3∶2 D . 1∶2

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8. (2021九上·温州期末) 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2022·绥化) 如图，正六边形 $\text{[math]}$ 和正五边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，且有公共顶点A，则 $\text{[math]}$ 的度数为度．

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10. (2022·和平模拟) 已知圆的周长是 $\text{[math]}$ ，则该圆的内接正三角形的边心距是．

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11. (2022九上·舟山期中) 如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=．

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12. (2022·武威会考) 如图，边长为2 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD内接于⊙O，则 $\text{[math]}$ 的长为.（结果保留π）

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13. (2021·孝义模拟) 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R ，圆内接正n边形的边长、面积分别为a_n ， S_n ，圆内接正2n边形边长、面积分别为a_2n ， S_2n ．刘徽用以下公式求出a_2n和S_2n ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为．

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14. (2021·龙门模拟) 如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是 $\text{[math]}$ 上一点（不与A、B重合），点F是 $\text{[math]}$ 上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，B，且∠EOF＝90°．有下列结论：① $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ；②四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；③△GBH周长的最小值为2+ $\text{[math]}$ ；④若BG＝1﹣ $\text{[math]}$ ，则BG，GE， $\text{[math]}$ 围成的面积是 $\text{[math]}$ ，其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）

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三、解答题

15. (2021九上·巢湖月考) 已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．

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16. (2020九上·金寨期末) 如图，正五边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），求 $\text{[math]}$ 的余角的度数．

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17. (2020九上·福州月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接正五边形．求证： $\text{[math]}$ .

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四、综合题

18. (2022·交城模拟) 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为 $\text{[math]}$ ，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
1. （1）求出 $\text{[math]}$ 的值为；
2. （2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
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19. (2020·无锡模拟) 已知某种月饼形状的俯视图如图1所示，该形状由1个正六边形和6个半圆组成，半圆直径与正六边形的边长相等.

现商家设计了2种棱柱体包装盒，其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率= $\text{[math]}$ ×100%)
1. （1）请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%)；
2. （2）考虑到节约成本，商家希望底面利用率能够不低于80%，且底面图形仍然采用最基本的几何形状，请问商家的要求是否能够满足，若可以满足，请设计一种方案，并直接写出此时的利用率；若不能满足，请说明理由.
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