2013年高考理数真题试卷（湖南卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：968 类型：高考真卷

一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2013·湖南理) 复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2013·湖南理) 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）

A . 抽签法 B . 随机数法 C . 系统抽样法 D . 分层抽样法

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3. (2013·湖南理) 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB= $\text{[math]}$ b，则角A等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2013·湖南理) 若变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则x+2y的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2013·湖南理) 函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x²﹣4x+5的图象的交点个数为（）

A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

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6. (2013·湖南理) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是单位向量， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2013·湖南理) 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2013·湖南理)
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）

A . 2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2013·湖南理) 在平面直角坐标系xOy中，若直线l： $\text{[math]}$ ，（t为参数）过椭圆C： $\text{[math]}$ （θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．

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10. (2013·湖南理) 已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a²+4b²+9c²的最小值为．

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11. (2013·湖南理) 如图，在半径为 $\text{[math]}$ 的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．

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12. (2013·湖南理) 若 $\text{[math]}$ ，则常数T的值为．

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13. (2013·湖南理) 执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．

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14. (2013·湖南理) 设F₁ ， F₂是双曲线C： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的离心率为．

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15. (2013·湖南理) 设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=（﹣1）ⁿa_n﹣ $\text{[math]}$ ，n∈N^* ，则
①a₃=；
②S₁+S₂+…+S₁₀₀=．

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16. (2013·湖南理) 设函数f（x）=a^x+b^x﹣c^x ，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
1. （1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．
2. （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
  ①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
  ②∃x∈R，使a^x ， b^x ， c^x不能构成一个三角形的三条边长；
  ③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
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三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (2013·湖南理) 已知函数f（x）=sin（x﹣ $\text{[math]}$ ）+cos（x﹣ $\text{[math]}$ ），g（x）=2sin² $\text{[math]}$ ．
1. （1）若α是第一象限角，且f（α）= $\text{[math]}$ ，求g（α）的值；
2. （2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
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18. (2013·湖南理) 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
1. （1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
2. （2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
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19. (2013·湖南理) 如图，在直棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
1. （1）证明：AC⊥B₁D；
2. （2）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成的角的正弦值．
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20. (2013·湖南理)
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
1. （1）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
2. （2）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
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21. (2013·湖南理) 过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k₁ ， k₂的两条不同直线l₁ ， l₂ ，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
1. （1）若k₁＞0，k₂＞0，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点M到直线l的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ，求抛物线E的方程．
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22. (2013·湖南理) 已知a＞0，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
2. （2）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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