广东省湛江市2023届高三数学一模试卷

更新时间：2023-04-11 浏览次数：91 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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2. (2023·湛江模拟) 已知R为实数集，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·平房期中) 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字 $\text{[math]}$ 进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）

A . 16 B . 24 C . 166 D . 180

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4. (2024高一下·龙马潭期中) 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高一下·河北期末) 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·湛江模拟) 已知F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过F的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线C交于A，B两点，与圆 $\text{[math]}$ 交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 4 C . 8 D . 16

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7. (2023·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R，且 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 13 B . 16 C . 25 D . 51

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二、多选题

9. (2023·湛江模拟) 某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高/cm
165
168
170
172
173
174
175
177
179
182
体重/kg
55
89
61
65
67
70
75
75
78
80
由表中数据制作成如下所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，相关系数为 $\text{[math]}$ ，决定系数为 $\text{[math]}$ ；经过残差分析确定 $\text{[math]}$ 为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，相关系数为 $\text{[math]}$ ，决定系数为 $\text{[math]}$ ．则以下结论中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·湛江模拟) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别为棱BC与 $\text{[math]}$ 的中点，则下列选项正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为30° C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 的截面面积为 $\text{[math]}$

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11. (2023高一下·河北期末) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，下列选项正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 的最小正周期 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到 $\text{[math]}$ 的图象 C . 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上只有一个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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12. (2023·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·湛江模拟) $\text{[math]}$ ．

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15. (2023·湛江模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 存在两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的2次迭代函数， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的3次迭代函数，…，依次类推， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的n次迭代函数，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 除以17的余数是．

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四、解答题

17. (2023·湛江模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A；
2. （2）若△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求a．
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18. (2023·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. (2023·湛江模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的正投影在直线 $\text{[math]}$ 上；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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20. (2023·湛江模拟) 某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位： $\text{[math]}$ ），经统计得到下面的频率分布直方图：
参考公式：直方图的方差 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为各区间的中点， $\text{[math]}$ 为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ ．（用每组的中点代表该组的均值）
1. （1）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 $\text{[math]}$ ，用直方图的平均数估计值 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值 $\text{[math]}$ ，用直方图的标准差估计值s作为 $\text{[math]}$ 估计值 $\text{[math]}$ ．
  （i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了 $\text{[math]}$ 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
  0.8
  1.2
  0.95
  1.01
  1.23
  1.12
  1.33
  0.97
  1.21
  0.83
  利用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
  （ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在 $\text{[math]}$ 之外的零件个数，求 $\text{[math]}$ 及X的数学期望．
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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21. (2024高二上·潮阳期末) 已知 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，椭圆E的离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且不与坐标轴垂直的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E交于A，B两点， $\text{[math]}$ 的周长为8．
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
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22. (2023·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：函数 $\text{[math]}$ 只有一个零点；
2. （2）在区间 $\text{[math]}$ 上函数 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
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