广东省广州市2023届高三数学二模试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：78 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·广州模拟) 若 $\text{[math]}$ 为实数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . -1 D . -2

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2. (2023·广州模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023·广州模拟) 已知两个非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·广州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·广州模拟) 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 $\text{[math]}$ 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 $\text{[math]}$ 的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·广州模拟) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），过点 $\text{[math]}$ 且方向向量为 $\text{[math]}$ 的光线，经直线 $\text{[math]}$ 反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·广州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为（）

A . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） B . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） C . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

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8. (2023·广州模拟) 已知偶函数 $\text{[math]}$ 与其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 也是偶函数，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023·广州模拟) 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）

A . 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B . 该零件是次品的概率为0.03 C . 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98 D . 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为 $\text{[math]}$

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10. (2023·广州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），值域为 $\text{[math]}$ ，则满足条件的整数对 $\text{[math]}$ 可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·广州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在第四象限）， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 轴，则 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 的左支于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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12. (2024高二上·锦江月考) 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 取得最小值，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023·广州模拟) 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且成绩在 $\text{[math]}$ 上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为.

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14. (2023·广州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的展开式中存在常数项，写出n的一个值为.

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15. (2023·广州模拟) 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则正整数 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023·广州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，定义 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的“折线距离”.已知点 $\text{[math]}$ ，动点P满足 $\text{[math]}$ ，点M是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为， $\text{[math]}$ 的最小值为

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四、解答题

17. (2023·广州模拟) 设 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2023·广州模拟) 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $\text{[math]}$ （单位：千万元）对每件产品成本 $\text{[math]}$ （单位：元）的影响，对近 $\text{[math]}$ 年的年技术创新投入 $\text{[math]}$ 和每件产品成本 $\text{[math]}$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）根据散点图可知，可用函数模型 $\text{[math]}$ 拟合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，试建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程；
2. （2）已知该产品的年销售额 $\text{[math]}$ （单位：千万元）与每件产品成本 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $\text{[math]}$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $\text{[math]}$ 为何值时，年利润的预报值最大？
  （注：年利润=年销售额一年投入成本）
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19. (2023·广州模拟) 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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20. (2023·广州模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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21. (2023·广州模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， P为平面内一动点，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．
1. （1）求C的方程；
2. （2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求l的方程.
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22. (2023·广州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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