专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练-在线组卷

1. (2023·金华模拟) P是双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．

（1）记P，Q的纵坐标分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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2. (2023·宁波模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与双曲线上的点的距离的最小值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求双曲线E的方程；
（2）直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，且交双曲线E的左、右支于A，B两点，交渐近线于点M，N．记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求直线l的方程．

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3. (2023·嘉兴模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上一点.

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率大于0的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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4. (2023·梅州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过点 $\text{[math]}$ 作动直线 $\text{[math]}$ ，与双曲线的左、右支分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取异于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 恒在一条定直线上．

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5. (2023·茂名模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线E实轴长为2，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线C的右支不同的A，B两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点且满足 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

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6. (2023·黄浦模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的中心在坐标原点，左焦点 $\text{[math]}$ 与右焦点 $\text{[math]}$ 都在 $\text{[math]}$ 轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程；
（2）若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的正切值；（关于求 $\text{[math]}$ 的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的左支上（点 $\text{[math]}$ 不是该双曲线的顶点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形．且 $\text{[math]}$ 边的长等于双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长的2倍．

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7. (2023·黄浦模拟) 三个互不相同的函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间D上恒有 $\text{[math]}$ 或恒有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间D上的“分割函数”．

（1）设 $\text{[math]}$ ，试分别判断 $\text{[math]}$ 是否是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的“分割函数”；
（3）若 $\text{[math]}$ ，且存在实数k，b，使得 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的“分割函数”，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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8. (2023·金山模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点且垂直于 $\text{[math]}$ 轴，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点分别为A、B，A、 B两点关于y轴的对称点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，求正方形 $\text{[math]}$ 的内切圆的方程；
（3）设О为坐标原点，P、Q两点都在椭圆 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ 是直角，点Р在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值.

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9. (2023·静安模拟) 已知双曲线Γ： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ c，0）、 $\text{[math]}$ （c，0）（其中 $\text{[math]}$ ）.

（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ；直线l的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，在y轴上的截距为 $\text{[math]}$ .直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△ $\text{[math]}$ 的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，求双曲线Γ的离心率.

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10. (2023·虹口模拟) 已知动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离和它到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比等于 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹记为曲线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
（3）已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过点 $\text{[math]}$ .

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11. (2023·浦东模拟) 椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆的左右顶点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为左右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上的动点．

（1）求椭圆的离心率；
（2）若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 的点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均与圆 $\text{[math]}$ 相切，记直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，是否存在位于第一象限的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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12. (2023·长春模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 上的所有点构成集合 $\text{[math]}$ 和集合 $\text{[math]}$ ，坐标平面内任意点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 称为点 $\text{[math]}$ 关于双曲线 $\text{[math]}$ 的“相关直线”．

（1）若 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一支有2个交点，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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13. (2023·遂宁模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的两动点，且 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率均存在，并分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 为常数；
（2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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14. (2023·杭州模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
①求证：直线 $\text{[math]}$ 经过定点．
②设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

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15. (2023·红河模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦距为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的左焦点和右顶点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆的圆心在直线 $\text{[math]}$ 上，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

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16. (2023·崇明模拟) 已知椭圆Γ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是椭圆Γ与 $\text{[math]}$ 轴的交点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的上方），过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点．

（1）若椭圆 $\text{[math]}$ 焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，且其离心率是 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 三点共线．

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17. (2023·温州模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线交双曲线右支于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在第一象限．

（1）求点 $\text{[math]}$ 横坐标的取值范围；
（2）线段 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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18. (2023·宜宾模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点 $\text{[math]}$ 在以点 $\text{[math]}$ 为圆心的圆外，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ （都不同于点 $\text{[math]}$ ），记 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求圆 $\text{[math]}$ 的方程．

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19. (2023·宜宾模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的斜率．

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20. (2023·吉林模拟) 知椭圆E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $\text{[math]}$

（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，下顶点为A，过点 $\text{[math]}$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之积为定值，并求出该定值.

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21. (2023·吉林模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ，动点M在直线 $\text{[math]}$ 上，过点M且垂直于x轴的直线与线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；
（2）已知圆 $\text{[math]}$ 的一条直径为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 分别交曲线C于 $\text{[math]}$ 两点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

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22. (2023·深圳模拟) 已知斜率存在的直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点.

（1）若直线 $\text{[math]}$ 的斜率为1， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的纵坐标为2，求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若点 $\text{[math]}$ 也在 $\text{[math]}$ 轴上，且不同于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率满足 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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23. (2023·玉林模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．

（1）若坐标原点O到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ，求△AOB的面积．
（2）试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．

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24. (2023·南宁模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
（2）已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在两点 $\text{[math]}$ 使得圆 $\text{[math]}$ 内切于 $\text{[math]}$ ？若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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25. (2023·广东模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上不同的三个点.当点 $\text{[math]}$ ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 标准方程；
（2）若 $\text{[math]}$ 为原点，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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26. (2023·南通模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，焦距与短轴长均为4．

（1）求E的方程；
（2）设任意过 $\text{[math]}$ 的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过 $\text{[math]}$ 作平行于l的直线分别交 $\text{[math]}$ 于A，B，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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27. (2023·包头模拟) 已知直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为垂足，点D的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求C的方程；
（2）若点E是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中P，Q为切点，试证明直线 $\text{[math]}$ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．

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28. (2023·呼和浩特模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，且椭圆经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B是x轴上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，直线AM、BM分别交椭圆于点P、Q（均不同于M），证明：直线PQ的斜率为定值．

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29. (2023·抚顺模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点坐标为 $\text{[math]}$ ， A，B分别是椭圆的左、右顶点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆分别相交于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求 $\text{[math]}$ 的面积S的最大值．

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30. (2022·南阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过直线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作椭圆的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 轴上时，切线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

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31. (2023·邵阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点 $\text{[math]}$ 到其渐近线 $\text{[math]}$ 的距离为2，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，试问：以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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32. (2023·湖北模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过点F且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点R．

（1）求证：点R为线段 $\text{[math]}$ 的中点；
（2）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究：是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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33. (2023·河南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值（ $\text{[math]}$ 是坐标原点）．

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34. (2023·绍兴模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的距离为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）过 $\text{[math]}$ 的左顶点且不与 $\text{[math]}$ 轴重合的直线交 $\text{[math]}$ 的右支于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 在定圆上.

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35. (2023·台州模拟) 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右两支分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）设点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ ，与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.当直线 $\text{[math]}$ 变化时， $\text{[math]}$ 恒为一定值，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

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36. (2023·闵行模拟) 如果曲线 $\text{[math]}$ 存在相互垂直的两条切线，称函数 $\text{[math]}$ 是“正交函数”．已知 $\text{[math]}$ ，设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，是否存在直线 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切？请说明理由；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，如果函数 $\text{[math]}$ 是“正交函数”，求满足要求的实数 $\text{[math]}$ 的集合 $\text{[math]}$ ；若对任意 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 都不存在与 $\text{[math]}$ 垂直的切线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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37. (2023·闵行模拟) 已知O为坐标原点，曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 有公共点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

（1）若曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有且仅有两个公共点，求曲线 $\text{[math]}$ 的离心率和渐近线方程；
（2）若直线OM经过曲线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正整数，求a的值；
（3）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： $\text{[math]}$ ．

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38. (2023·安庆模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的三个顶点， $\text{[math]}$ 为其右焦点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

（1）若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，求椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 的值是否为定值（与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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39. (2023·蚌埠模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右顶点， $\text{[math]}$ 为双曲线上与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的点.

（1）设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是定值；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ （与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）.判断直线 $\text{[math]}$ 是否过定点，若直线 $\text{[math]}$ 过定点，求出该定点坐标；若直线 $\text{[math]}$ 不过定点，请说明理由.

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40. (2023·宣城模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为4，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之积等于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围．

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41. (2023·赣州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 为其焦点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）.

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的两个动点，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于，问平面内是否存在一个定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，请求出定点 $\text{[math]}$ 及该定值：若不存在，请说明理由.

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专题05 圆锥曲线-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训...

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