备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（3）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：177 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·吉林) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数）经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在此抛物线上，其横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方时，结合图象，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若此抛物线在点 $\text{[math]}$ 左侧部分（包括点 $\text{[math]}$ ）的最低点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②以 $\text{[math]}$ 为边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在此抛物线的对称轴上时，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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2. (2022·长春) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b是常数）经过点 $\text{[math]}$ ．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（ $\text{[math]}$ ）．以点A为中心，构造正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 轴．
1. （1）求该抛物线对应的函数表达式：
2. （2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求点B的坐标；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
4. （4）当抛物线与正方形 $\text{[math]}$ 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的值．
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3. (2022·潍坊) 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：

二次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
1. （1） [观察发现]
  请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
2. （2） [思考交流]
  小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
  小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
  你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
3. （3） [概括表达]
  小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
  
  请你探究这个方法，写出探究过程．
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4. (2022·青海) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C.
图1 图2
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
3. （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $\text{[math]}$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）
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5. (2022·滨州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求线段AC的长；
2. （2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
3. （3）若点M为该抛物线上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求点M的坐标．
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6. (2022九上·牟平期中) 如图，在直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，顶点为点D．
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交y轴于点N．如果在 $\text{[math]}$ 的对称轴和 $\text{[math]}$ 上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．
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7. (2022·烟台) 如图，已知直线y＝ $\text{[math]}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2） D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
3. （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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8. (2022·日照) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．
1. （1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
2. （2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
3. （3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
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9. (2022·淄博) 如图，抛物线y＝-x²+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝ $\text{[math]}$ x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
1. （1）求这条抛物线对应的函数表达式；
2. （2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
3. （3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
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10. (2022·西宁) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
1. （1）求抛物线解析式；
2. （2）连接BE，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）拋物线上是否存在一点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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二、综合题

11. (2023·绿园模拟) 在平面直角坐标系中，过点 $\text{[math]}$ 且平行于x轴的直线与直线 $\text{[math]}$ 交于点P，点P关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点Q，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点P、Q．
1. （1）点P的坐标为；点Q的坐标为．
2. （2）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式．
3. （3）若点A在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且点A横坐标为2m．过点A向直线 $\text{[math]}$ 作垂线，设垂足为B，当点A与点B不重合时，以 $\text{[math]}$ 为边向下作矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．
  ①当矩形 $\text{[math]}$ 的中心恰好落在抛物线 $\text{[math]}$ 上时，求m的值．
  ②当抛物线 $\text{[math]}$ 恰与 $\text{[math]}$ 有交点时，设该交点为E，若 $\text{[math]}$ ，直接写出m的值．
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12. (2023·永吉模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且在第一象限与抛物线相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1） ①求此抛物线的函数解析式；②当 $\text{[math]}$ 时，自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围 ▲ ；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形时，点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 ▲ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
  ②在①题的条件下，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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13. (2023·宽城模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点E，将射线 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）当点D在第二象限且 $\text{[math]}$ 时，求点D的坐标；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
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14. (2023·德惠模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b是常数）的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，点A在这个抛物线上，且点A的横坐标为m．
1. （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点C的坐标．
2. （2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积．
  ②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
3. （3）设点D的坐标为 $\text{[math]}$ ，点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
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15. (2023·长春模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数）与 $\text{[math]}$ 轴交点坐标为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交点的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 均在这个抛物线上，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧时，抛物线上 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的部分（包括 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点）记为图象 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线对应的函数表达式．
2. （2）当图象 $\text{[math]}$ 对应的函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （3）图象 $\text{[math]}$ 最大值与最小值差为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式．
4. （4）设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边长向右作正方形 $\text{[math]}$ ，当抛物线与正方形 $\text{[math]}$ 的边只有两个交点，且交点的纵坐标之差为1时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2023·青海模拟) 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： $\text{[math]}$ ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
1. （1）求抛物线和直线AB的解析式；
2. （2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 $\text{[math]}$ ；
3. （3）是否存在一点P，使S_△PAB= $\text{[math]}$ S_△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
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17. (2023·济南模拟) 图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．P是抛物线上一点，且在直线 $\text{[math]}$ 的上方．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，点E为 $\text{[math]}$ 中点，作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点Q，若四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，求点P的横坐标；
3. （3）如图3，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ．判断 $\text{[math]}$ 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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18. (2023·济阳模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
1. （1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；
2. （2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
3. （3）如图2，若C点为线段 $\text{[math]}$ 上一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2023·东昌府模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
1. （1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；
2. （2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线 $\text{[math]}$ 上的点，若 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ （点E在点F左侧），求点E的坐标；
3. （3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
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20. (2023·长清模拟) 抛物线L： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与它的对称轴直线 $\text{[math]}$ 交于点B．
1. （1）求抛物线L的解析式；
2. （2）抛物线L与x正半轴交于点N，E在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）如图2，将抛物线L向上平移 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，表示向下平移 $\text{[math]}$ ）个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 于另一点D，F为抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴与x轴的交点，P为线段 $\text{[math]}$ 上一点．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
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21. (2023·枣庄模拟) 如图①，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，拋物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，长为2的线段 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 的上方）在 $\text{[math]}$ 轴上方的抛物线对称轴上运动．
1. （1）求抛物线的关系式；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 运动过程中，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）如图②过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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22. (2023·临清模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ，直线AD交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）如图1，点Q是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点Q作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ，若点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积S与m的函数表达式，并写出S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；
3. （3）如图2，直线 $\text{[math]}$ 交y轴于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形 $\text{[math]}$ 周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．
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23. (2023·东平模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一个动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）用关于 $\text{[math]}$ 的代数式表示线段 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  ①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角三角形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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24. (2023·天桥模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）正比例函数 $\text{[math]}$ 的图象分别与线段 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交于点D，E，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （3）如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．
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25. (2023·东明模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
3. （3）点P是抛物线上第一象限内的一点，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．
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26. (2023·历下模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C．
1. （1）求该抛物线的解析式：
2. （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值：
3. （3）在（2）的条件下，将抛物线 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 平移4 $\text{[math]}$ 个单位，得到新的抛物线 $\text{[math]}$ ，点E为点F的对应点，点P为 $\text{[math]}$ 的对称轴上任意一点，在 $\text{[math]}$ 上确定一点Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
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27. (2023·金乡县模拟) 如图1，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
2. （2） P在线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m.
  ①若点P的横坐标为m，请用m表示线段 $\text{[math]}$ 的长度并写出m的取值范围；
  ②有人认为：当直线a与抛物线的对称轴重合时，线段 $\text{[math]}$ 的值最大，你同意他的观点吗？请说明理由；
  ③过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴（图2），交 $\text{[math]}$ 于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
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28. (2023·莱芜模拟) 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点．
1. （1）求抛物线的函数解析式
2. （2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．如果P点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）；
3. （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把 $\text{[math]}$ 沿直线EF折叠，点P的对应点为点 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的坐标．
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29. (2023·历下模拟) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、 $\text{[math]}$ （A点在B点左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线上一个动点，连接 $\text{[math]}$
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）如图2所示，当点P在直线 $\text{[math]}$ 上方运动时，连接 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并写出此时P点坐标．
3. （3）若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为 $\text{[math]}$ ．试判断是否存在这样的点M，使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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