2023年中考数学探究性试题复习6 分式的混合运算-在线组卷

1. (2022八下·盐湖期末) 【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即 $\text{[math]}$ ，则称分式B是分式A的“关联分式”．

例如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，

解： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“关联分式”．

（1）【解决问题】已知分式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
（2）和谐小组成员在求分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设 $\text{[math]}$ 的“关联分式”为B，
则 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”．
（3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”：．

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2. (2023八下·宜宾月考) “ $\text{[math]}$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ .

（1）计算 $\text{[math]}$ ；
（2）求等式 $\text{[math]}$ 中x的值.

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3. (2023八下·威远月考) 阅读下列材料，解决问题：

定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.

例如： $\text{[math]}$ ；

又如： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

（1）分式 $\text{[math]}$ 是（填“真分式”或“假分式”）﹔
（2）将假分式 $\text{[math]}$ 化为带分式；
（3）如果分式 $\text{[math]}$ 的值为整数，求所有符合条件的整数 $\text{[math]}$ 的值.

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4. (2023八上·扶沟期末) 材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如： $\text{[math]}$ .

类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.

例如： $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ .

材料二：为了研究字母a和 $\text{[math]}$ 分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：

a	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	1	2	3	4	…
$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	无意义	1	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…

请根据上述材料完成下列问题：

（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时.随着a的增大，分式 $\text{[math]}$ 的值（填“增大”或“减小”）；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，随着a的增大，分式 $\text{[math]}$ 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.

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5. (2024·濠江模拟) 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式： $\text{[math]}$ ；

立方差公式： $\text{[math]}$ .

根据材料和已学知识解决下列问题

（1）因式分解： $\text{[math]}$ ；
（2）先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

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6. (2022八上·中山期末) 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 $\text{[math]}$ ，则称分式N是分式M的“关联分式”．

（1）已知分式 $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“关联分式”；
（2）小聪在求分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 $\text{[math]}$ 的“关联分式”为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．
请你仿照小聪的方法求分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”．
（3） ①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\text{[math]}$ 的“关联分式”：．
②若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“关联分式”，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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7. (2022八上·张店期中) 【阅读学习】阅读下面的解题过程：

已知： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解：由 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ，

故 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ．

（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
（2）【拓展延伸】
已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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8. (2022八上·丰城期中) 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： $\text{[math]}$

该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，你能很快求出 $\text{[math]}$ 的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．求代数式 $\text{[math]}$ 的值．

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9. (2022八上·昌平期中) 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是“和谐分式”．

（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$
（2）请将“和谐分式” $\text{[math]}$ 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简 $\text{[math]}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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10. (2022八上·柯城开学考) 在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：

$\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝1+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝x﹣1+ $\text{[math]}$ .

参考上面的方法解决下列问题：

（1）将分式 $\text{[math]}$ 化为带分式；
（2）求分式 $\text{[math]}$ 的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式 $\text{[math]}$ 的值是整数，求t的整数值.

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11. (2022九上·西安开学考) 阅读材料：若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）思维拓展：已知实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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12. (2022八下·沭阳期末) 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： $\text{[math]}$ .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： $\text{[math]}$ ；

解决下列问题：

（1）分式 $\text{[math]}$ 是分式（填“真”或“假”）；
（2） $\text{[math]}$ 将假分式化为带分式；
（3）如果 $\text{[math]}$ 为整数，分式 $\text{[math]}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的值.

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13. (2022七下·柯桥期末) 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1＋ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = 2＋ $\text{[math]}$ ．

（1）将假分式 $\text{[math]}$ 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 $\text{[math]}$ 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： $\text{[math]}$ = a＋m＋ $\text{[math]}$ ，求m、n的值；并直接写出当整数a为何值时，分式 $\text{[math]}$ 为正整数；
（3）自然数A是 $\text{[math]}$ 的整数部分，则A的数字和为．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）