2023年中考数学探究性试题复习14 三角形

作法如下：作点关于直线的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点 ， 求的最小值．

如图1，在正方形中，点 ， 分别是 ， 边上的动点，且 ， 求证： ． 小明发现，当把绕点顺时针旋转90°至 ， 使与重合时能够证明，请你给出证明过程．

①如图2，在正方形中，如果点 ， 分别是 ， 延长线上的动点，且 ， 则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 ， ， 之间的数量关系（不要求证明）

②如图3，如果点 ， 分别是 ， 延长线上的动点，且 ， 则 ， ， 之间的数量关系是（不要求证明）

如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，

若 ， 则；

如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，

若 ， 分别作和的平分线交于点O，则；

问题情境：如图1，在中， ， ， D，E分别是 ， 的中点，连接 ．

如图2，将绕着点C逆时针旋转 ， 连接BE和 ， 小明发现 ， ， 请你证明该结论．

如图3，将绕着点C逆时针旋转 ， 此时恰好有 ， 连接 ， 延长 ， 交于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由．

拓展探究：

如图1，和都是等边三角形，连接 ． 求证： ．

如图2，和都是等腰直角三角形， ． 连接 ． 请直接写出的值．

如图3，和都是直角三角形， ， 且 ． 连接 ． 延长交于点F，交于点G．求的值．

①的值为；

②的度数为度；

①平分、 ， ②、互相平分，③ ， ④、、、四点共圆.

如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形 ， 使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．

②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（从①②两题中选择一题加以证明）

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．

如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

公式①：

公式②：

公式③：

公式④：

图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式；

①若E为边AC的中点，则的值为      ▲      ；

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

如图，中， ．