【高考真题】2023年北京高考数学卷

更新时间：2023-07-24 浏览次数：398 类型：高考真卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. (2023高三上·月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·雁塔月考) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·北京卷) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 1

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4. 下列函数中，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·北京卷) $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 40 D . 80

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6. (2023·北京卷) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．若 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为5，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 6 C . 5 D . 4

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7. (2023·北京卷) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. (2023·北京卷) 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $\text{[math]}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正切值均为 $\text{[math]}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·北京卷) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立

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二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2024高二下·龙门月考) 已知双曲线C的焦点为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，则C的方程为．

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13. (2024·) 已知命题 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 为第一象限角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．能说明p为假命题的一组 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·北京卷) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 $\text{[math]}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；数列 $\text{[math]}$ 所有项的和为．

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15. 设 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减；

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 存在最大值；

③设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④设 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 存在最小值，则a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. (2023·北京卷) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAB；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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17. (2025·三角) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增， $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $\text{[math]}$ 存在，求 $\text{[math]}$ 的值．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  
  条件②： $\text{[math]}$ ；
  
  条件③： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减．
  
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. (2023·北京卷) 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	-	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	-	-	+	-	+	0	0	+
第21天到第40天	0	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	+	-	-	-	+	0	-	+

用频率估计概率．

（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

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19. (2023·北京卷) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 $\text{[math]}$ 的左、右顶点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为第一象限内E上的动点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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20. (2023·北京卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的极值点个数．
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21. (2023·北京卷) 已知数列 $\text{[math]}$ 的项数均为m $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的前n项和分别为 $\text{[math]}$ ，并规定 $\text{[math]}$ ．对于 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$ 表示数集M中最大的数.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明：存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ．
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