【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集...

更新时间：2023-08-14 浏览次数：22 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2018·北京) 设集合A= $\text{[math]}$ ，则（）

A . 对任意实数a， $\text{[math]}$ B . 对任意实数a， $\text{[math]}$ C . 当且仅当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当且仅当a $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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2. (2014·湖北理) 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁_UC”是“A∩B=∅”的（）

A . 充分而不必要的条件 B . 必要而不充分的条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2013·福建理) 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2023·松江模拟) 若方程 $\text{[math]}$ 的解集为M，则以下结论一定正确的是（）
（1） $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$
（4） $\text{[math]}$

A . （1）（4） B . （2）（4） C . （3）（4） D . （1）（3）（4）

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5. (2023高一下·衢州期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的子集有（）

A . 7个 B . 6个 C . 4个 D . 3个

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6. (2023·安徽月考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -1 C . 1 D . 3

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7. (2023·惠州模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ 或1 D . 0

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8. (2022·浙江模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·潍坊模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则一定有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则满足条件的x有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

11. (2016·北京文) 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有种；
②这三天售出的商品最少有种．

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12. (2022·上海市模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$

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13. (2020·南京模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2019·朝阳模拟) 设全集 $\text{[math]}$ ，非空集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足以下条件：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ），此时 $\text{[math]}$ 中元素个数为.

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15. (2019·东城模拟) 设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个子集，对任意 $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
①若 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的关系为.

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16. (2018·南京模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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17. (2017·浙江模拟) 设A={（x，y）|x²﹣a（2x+y）+4a²=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为．

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18. 设A={x|x²﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．

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19. (2023高一下·宝山期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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20. (2022高一上·徐汇期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足条件 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的集合 $\text{[math]}$ 的个数为个

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三、解答题

21. (2018·北京) 设n为正整数，集合A= $\text{[math]}$ ，对于集合A中的任意元素 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，记
M（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ [( $\text{[math]}$ )+（ $\text{[math]}$ ）+ +（ $\text{[math]}$ ）]
(Ⅰ)当n=3时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （0，1，1），求M（ $\text{[math]}$ ）和M（ $\text{[math]}$ ）的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意元素 $\text{[math]}$ ，当a，β相同时，M( $\text{[math]}$ )是奇数；当aβ不同时，M( $\text{[math]}$ )是偶数，求集合B中元素个数的最大值
(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意两个不同的元素 $\text{[math]}$ ，M( $\text{[math]}$ )=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

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22. (2012·江苏理) 设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^* ．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈ $\text{[math]}$ A，则2x∉ $\text{[math]}$ A．
1. （1）求f（4）；
2. （2）求f（n）的解析式（用n表示）．
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23. (2016·江苏) 记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁ ， t₂ ， …，t_k}，定义S_T= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆ ．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
3. （3）设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D ，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D ．
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24. (2023·丰台模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 中存在三个互不相同的元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均属于 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”．
1. （1）试判断集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否为集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
2. （2）如果一个集合中含有三个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，同时满足① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $\text{[math]}$ ．对于集合 $\text{[math]}$ 的非空子集 $\text{[math]}$ ，证明：集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 的任意含有 $\text{[math]}$ 个元素的子集都是集合 $\text{[math]}$ 的“期待子集”，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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25. (2023·大兴模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是正整数，记 $\text{[math]}$ ．对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在整数k，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是满足 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ 的数对 $\text{[math]}$ 的个数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）设A中最小的元素为a，求使得 $\text{[math]}$ 取到最大值时的所有集合A．
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26. (2022·武功模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，求使 $\text{[math]}$ 的充要条件．

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27. (2021·嘉兴模拟) 定义：函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的定义域的交集为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，那么我们称 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为一对“ $\text{[math]}$ 函数”，已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为一对“ $\text{[math]}$ 函数”，求证： $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）

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28. (2019高一上·深圳期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集包含[–1，1]，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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29. (2019高三上·西城月考) 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．
1. （1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；
2. （2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；
3. （3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．
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30. (2019·呼和浩特模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）令 $\text{[math]}$

①当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

②若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的所有取值集合与 $\text{[math]}$ 的关系；

（Ⅱ）记 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意的实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 $\text{[math]}$ ，若不存在，请说明理由.

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