【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第17题

更新时间：2023-08-31 浏览次数：63 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·杭州) 设一元二次方程 $\text{[math]}$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $\text{[math]}$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

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二、基础

2. (2023八下·蒙城期中) 有甲、乙两位同学，根据“关于x的一元二次方程kx²-（k+2）x+2=0”（k为实数）这一已知条件，他们各自提出了一个问题考查对方，问题如下：
甲：你能不解方程判断方程实数根的情况吗？
乙：若方程有两个不相等的正整数根，你知道整数k的值等于多少吗？请你帮助两人解决上述问题．

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3. (2023八下·萧山期中) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
①若方程两根为1和2，则 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根；

③若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则一定有 $\text{[math]}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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4. (2023九上·福州模拟) 已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，求a的取值范围.

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5. (2022九上·宝鸡月考) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求k的值．

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6. (2022九上·秦都开学考) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其根的判别式的值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及该方程的解．

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7. (2023八下·怀化期中) 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：该方程总有两个实数根；
2. （2）记该方程的两个实数根为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求k值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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8. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，用配方法解方程．
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9. (2023·宜城模拟) 已知关于x的一元二次方程x²－4x+m+1＝0有实数根．
1. （1）求m的取值范围；
2. （2）如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $\text{[math]}$ ，求m的所有整数值的和．
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10. (2023九上·江油月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三边的长．
1. （1）如果 $\text{[math]}$ 是方程的根，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
2. （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （3）如果 $\text{[math]}$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
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三、提高

11. (2023八下·高邮期末) 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
2. （2）如果方程的两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为整数，求整数m所有可能的值．
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12. (2021九上·揭西期末) 等腰三角形的三边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，求此三角形的周长．

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13. (2021九上·朝阳期中) 对于实数u、v，定义一种运算“*”为： $\text{[math]}$ ．若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．

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14. (2021九上·陇县期中) 如果关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 没有实数根，试判断关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的根的情况.

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15. (2023八下·绍兴期中) 已知有关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
2. （2）若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根；
3. （3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
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16. (2023八下·杭州期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
2. （2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值：若不存在，说明理由．
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四、培优

17. (2022八上·苍南月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有四个不同的实数根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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18. (2022七上·长沙开学考) a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 $\text{[math]}$ ，使得关于 $\text{[math]}$ 的二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根均为质数 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. (2021·薛城模拟) 阅读材料：已知方程p²﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q²＝0且pq≠1，求 $\text{[math]}$ 的值．
解：由p²﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q²＝0可知p≠0，

又∵pq≠1，

∴p≠ $\text{[math]}$ ．

∵1﹣q﹣q²＝0可变形为 $\text{[math]}$ ﹣1＝0，

根据p²﹣p﹣1＝0和 $\text{[math]}$ ﹣1＝0的特征，

∴p、 $\text{[math]}$ 是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，

则p+ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．

已知：2m²﹣5m﹣1＝0， $\text{[math]}$ ，且m≠n ，求：
1. （1） mn的值；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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20. (2023八下·温州期中) 根据以下材料，完成题目．
材料一：数学家欧拉为了解决一元二次方程 $\text{[math]}$ 在实数范围内无解的问题，引进虚数单位 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数）的数统称为虚数．比如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为实数．

材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数．且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）有如下运算法则

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

材料三：关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数且a≠0）如果没有实数根，那么它有两个虚数根，求根公式为 $\text{[math]}$ ．

解答以下问题：
1. （1）填空：化简 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有一个根是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是实数，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 无实数根，且 $\text{[math]}$ 为正整数，求该方程的虚数根．
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