【备考2024年】中考数学杭州卷真题变式分层精准练第23题

更新时间：2023-08-31 浏览次数：80 类型：二轮复习

一、原题

1. (2024·明水模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 垂直弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 的度数，并证明你的结论．
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二、基础

2. (2023·通辽) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，D，E是 $\text{[math]}$ 上的两点，延长 $\text{[math]}$ 至点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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3. (2023·菏泽) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，C是圆上一点，D是 $\text{[math]}$ 的中点，弦 $\text{[math]}$ ，垂足为点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2） P是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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4. (2023·陕西) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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5. (2023·凤庆模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，E为 $\text{[math]}$ 的延长线上一点，过点E作 $\text{[math]}$ 的切线，切点为点C，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 交延长线于点D．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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6. (2023·相城模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条直径，直径 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和直径 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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7. (2023·浙江模拟) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．记tan∠DGF=m（m为常数，且m>1）．
1. （1）求证：∠AGC=∠ACF；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值（用含m的式子表示）．
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8. (2023九下·锡山期中) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接三角形， $\text{[math]}$ ，垂足为D，直径 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
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9. (2023·温江模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，C是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于E，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ：
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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10. (2023·无锡模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 经过点A ， C ， D交 $\text{[math]}$ 于点E ．过点D作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点G ， $\text{[math]}$ 于点F ．
1. （1）求证 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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三、提高

11. (2023·营口) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点D，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点F，垂足为点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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12. (2023·明水模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 的直径为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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13. (2023·中山模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，D是 $\text{[math]}$ 上一点，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，过点A作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点C．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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14. (2023·恩施模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是圆上的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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15. (2023·绥化) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为圆内的一组平行弦，弦 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H.点A在 $\text{[math]}$ 上，点B在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）求证： $\text{[math]}$ .
3. （3）在 $\text{[math]}$ 中，沿弦 $\text{[math]}$ 所在的直线作劣弧 $\text{[math]}$ 的轴对称图形，使其交直径 $\text{[math]}$ 于点G.若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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16. (2023·滨州) 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的外接圆相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ ；
4. （4）猜想：线段 $\text{[math]}$ 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
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17. (2023·舟山模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 于点F，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，点C为弧 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点G．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，过点C作 $\text{[math]}$ 的切线交BA的延长线于点Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （3）在（2）的基础上，点P为 $\text{[math]}$ 上任一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
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四、培优

18. (2023八下·景德镇期中) 如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证∶ $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，连结 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．
3. （3）如图3，在（2）的条件下，记 $\text{[math]}$ 的交点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
  ①求证∶ $\text{[math]}$ ．
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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19. (2023·宁波模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接于圆O， $\text{[math]}$ ，点D为劣弧上动点，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，作 $\text{[math]}$ 交圆O于点F，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当点D为弧 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. (2023·松阳模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 经过圆心时，
  ①求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2） ①连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ③连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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21. (2023·义乌模拟) 如图1：以x轴的正半轴上一点O₁为圆心作⊙O₁ ，交x轴于C、D两点，交y轴于A、B两点，以O为圆心OA为半径的⊙O与x轴的负半轴交于G点.设⊙O₁的弦AC的延长线交⊙O于F点，连结GF，AG，若AO＝4， $\text{[math]}$
1. （1）求证：△AGC∽△AFG；
2. （2）求出点O₁的坐标；
3. （3）如图2，线段EA、EB（或它们的延长线）分别交⊙O于点M、N.问：当点E在 $\text{[math]}$ （不含端点A、B）上运动时，线段MN的长度是否会发生变化？若不变，求出MN的长度；若变化，请说明理由.
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22. (2022·北仑模拟)
1. （1）【证明体验】
  如图1， $\text{[math]}$ 是等腰 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【思考探究】
  如图2，在（1）条件下，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）【拓展延伸】
  如图3， $\text{[math]}$ 的半径为5，弦 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. (2023·镇海区模拟) A，B在半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， C在劣弧 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 延长线交于点D，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求y与x的关系式；
3. （3） $\text{[math]}$ ，以M为圆心的圆经过点A，C.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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24. (2023·宁波模拟) 如图，圆O为 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 延长线与 $\text{[math]}$ 交于点D， $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图3，连结 $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于G，H两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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25. (2023九下·浙江月考) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 作切线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为切点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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