2019-2023高考数学真题分类汇编18 等差、等比数列...

更新时间：2023-09-02 浏览次数：39 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2021·浙江) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

2. (2023·北京卷) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 $\text{[math]}$ ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；数列 $\text{[math]}$ 所有项的和为．

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3. (2020·新高考Ⅱ) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前n项和为．

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4. (2020·江苏) 设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ，则d+q的值是．

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三、解答题

5. (2023·天津卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式和 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为等比数列，对于任意 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
  （Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
  
  （Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 的通项公式及其前 $\text{[math]}$ 项和．
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6. (2022·浙江) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若对于每个 $\text{[math]}$ ，存在实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成等比数列，求d的取值范围．

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7. (2022·新高考Ⅱ卷) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求集合 $\text{[math]}$ 中元素个数．
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8. (2024高二下·新余月考) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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9. (2021·浙江) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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10. (2021高二上·开封期中) 设 $\text{[math]}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ，9 $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的前n项和.证明： $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ .
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11. (2020·新课标Ⅲ·文) 设等比数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求{a_n}的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 为数列{log₃a_n}的前n项和．若 $\text{[math]}$ ，求m．
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12. (2021高三上·汉中月考) 设 $\text{[math]}$ 是公比不为1的等比数列， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的等差中项．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的公比；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．
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13. (2019·上海) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ，求公比 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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14. (2019·浙江) 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=4.a₄=S₃ ，数列{b_n}满足：
对每个n∈N^* ， S_n+b_n ， S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比数列
1. （1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
2. （2）记C_n= $\text{[math]}$ ，n∈N^* ，证明：C₁+C₂+…+C_n＜2 $\text{[math]}$ ，n∈N^*
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15. (2019·天津) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ .

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16. (2024高二下·江阳期末) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和。
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17. (2020高二上·千阳期中) 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；
2. （2）求{a_n}和{b_n}的通项公式.
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18. (2022·天津市) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）求 $\text{[math]}$ ．
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19. (2021·天津) 已知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ .
  （i）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列；
  
  （ii）证明 $\text{[math]}$
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20. (2020·天津) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前2n项和．

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21. (2020·江苏) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项a₁=1，前n项和为S_n ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 $\text{[math]}$ 成立，则称此数列为“λ–k”数列．
1. （1）若等差数列 $\text{[math]}$ 是“λ–1”数列，求λ的值；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ ”数列，且a_n＞0，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 $\text{[math]}$ 为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
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22. (2020·浙江) 已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}中，a₁＝b₁＝c₁＝1，c_n+1＝a_n+1﹣a_n ， c_n+1＝ $\text{[math]}$ •c_n（n∈N*）．
（Ⅰ）若数列{b_n}为等比数列，且公比q＞0，且b₁+b₂＝6b₃ ，求q与a_n的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，证明：c₁+c₂+…+c_n＜1+ $\text{[math]}$ ．

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23. (2019·上海) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 使得集合 $\text{[math]}$ 恰好有两个元素；
3. （3）若集合 $\text{[math]}$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
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24. (2019·天津) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列.已知 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .

（i）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（ii）求 $\text{[math]}$ .

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