【培优卷】2.2二次函数的图象与性质—2023-2024学年...

更新时间：2023-09-17 浏览次数：56 类型：同步测试

一、选择题（每题2分，共20分）

1. (2023·新疆) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．结合图象，判断下列结论：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个解；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的两点，则 $\text{[math]}$ ；④对于抛物线， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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2. (2023·枣庄) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；②方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）必有一个根大于2且小于3；③若 $\text{[math]}$ 是抛物线上的两点，那么 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤对于任意实数m，都有 $\text{[math]}$ ，其中正确结论的个数是（　　）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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3. (2023·青岛模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数， $\text{[math]}$ ）经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．则下列四个结论正确的有（）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若该抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有交点，则a的取值范围是 $\text{[math]}$ ；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程 $\text{[math]}$ （t为常数， $\text{[math]}$ ）的根为整数，则t的值只有3个．

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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4. (2023·安徽) 已知反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则函数 $\text{[math]}$ 的图象可能为（）

A . B . C . D .

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5. (2023·济南模拟) 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点M在点N的左侧）， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与抛物线围成的封闭区域记作 $\text{[math]}$ （包括边界），若区域 $\text{[math]}$ 内有6个整点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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6. (2023·寻乌模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，下列四个命题：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该抛物线上的两点，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该抛物线上的两点，则 $\text{[math]}$ ；其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. (2023·永嘉模拟) 规定二次函数 $\text{[math]}$ 的相关函数是 $\text{[math]}$ .已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 与二次函数 $\text{[math]}$ 的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. (2022九上·杭州期中) 在下列函数图象上任取不同的两点P（x₁ ， y₁）， Q（x₂ ， y₂），一定能使 $\text{[math]}$ 的是（）

A . y= $\text{[math]}$ （x>0） B . y=-（x-2）²+5（x≥0） C . y=（x-3）²-4（x<0） D . y=3x+7

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9. (2022九上·温州期中) 如图，抛物线y= $\text{[math]}$ x²-2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是AB，BM的中点，若△DEB与△ACD的面积比为9：10，则c的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . $\text{[math]}$ D . -3

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10. (2022·济南模拟) 已知函数y＝﹣x²+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x₁≤a+1和1≤x₂≤a+1，x₁、x₂相应的函数值y₁、y₂总满足|y₁﹣y₂|≤16，则实数a的取值范围是（）

A . 2≤a≤5 B . ﹣3≤a≤5 C . a≥2 D . 2≤a≤3

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2023·郫都模拟) 定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象的“等值点”．若函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ，将其沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后的图象记为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时， $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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12. (2022九上·宁波月考) 如图，点A是抛物线 $\text{[math]}$ 对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，则三角形OAO′的面积为．

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13. (2022九上·开化期中) 已知二次函数y₁＝2x²-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y₂＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为．

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14. (2022·惠民模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄…，A₂₀₂₂在抛物线第一象限的图象上，点B₁ ， B₂ ， B₃ ， B₄^. ．．，B₂₀₂₂在y轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…、 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2021九上·柯桥月考) 如图，“心”形是由抛物线 $\text{[math]}$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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三、解答题（共7题，共65分）

16. (2023·徐州) 如图，在平而直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）随着点 $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 上运动．
  ① $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？请说明理由；
  
  ②线段 $\text{[math]}$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
3. （3）当线段 $\text{[math]}$ 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时， $\text{[math]}$ 的面积为．
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17. (2024·新疆维吾尔自治区模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点C．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式及点C的坐标；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点D，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
  
  ②当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方时，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式，并求出S的最大值．
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18. (2023·凤庆模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点坐标为 $\text{[math]}$ ， C是x轴上一动点．
1. （1）求b，c的值．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 周长最小时，求点C的坐标．
3. （3）设m是抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的交点的横坐标，求 $\text{[math]}$ 的值．
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19. (2023·楚雄模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线 $\text{[math]}$ 交y轴于点P．
1. （1）直接写出A，B两点的坐标；
2. （2）如图①，当 $\text{[math]}$ 时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到 $\text{[math]}$ 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
3. （3）如图②，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点E，连接 $\text{[math]}$ 交y轴于点F，点C的横坐标为m，求 $\text{[math]}$ 的值（用含m的式子表示）．
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20. (2022九上·青田期中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在第一象限时，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标；
3. （3）在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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21. (2023·常州) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点是C ．
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） D是第三象限抛物线上的一点，连接OD ， $\text{[math]}$ ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点 $\text{[math]}$ 作x轴的垂线l ．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
3. （3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ ．已知 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求点P的坐标．
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22. (2023·鄂州模拟) 如图
1. （1）【特例感知】如图23-1，对于抛物线 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的序号是
  ①抛物线 $\text{[math]}$ 都经过点 $\text{[math]}$ ；
  
  ②抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴由拋物线 $\text{[math]}$ 的对称轴依次向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得到；
  
  ③抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等.
2. （2）
  【形成概念】把满足 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
  【知识应用】在(2)中，如图 $\text{[math]}$ .
  ①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $\text{[math]}$ ，用含n的代数式表示顶点P_n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
  
  ②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其横坐标分别为： $\text{[math]}$ 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.
  
  ③在②中，直线 $\text{[math]}$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断直线 $\text{[math]}$ 是否平行?请直接写出判断结果.
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