【备考2024】真题变式分层练：第22题—2023年高考数学...

更新时间：2023-10-03 浏览次数：105 类型：二轮复习

一、原题

1. (2023·全国乙卷) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 既与 $\text{[math]}$ 没有公共点，也与 $\text{[math]}$ 没有公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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二、基础

2. (2023高二下·成都期末) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，圆 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）．
1. （1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ，直线l与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．
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3. (2023高二下·安宁期末) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系， $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程， $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的圆心，点M为曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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4. (2023·攀枝花模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），曲线 $\text{[math]}$ ，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若射线 $\text{[math]}$ 分别与曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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5. (2023·遂宁模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ），在极坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为圆心且过极点O的圆．
1. （1）分别写出曲线 $\text{[math]}$ 普通方程和曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于M、N两点（异于极点O），求 $\text{[math]}$ ．
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6. (2023·玉林模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的直角坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
2. （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求 $\text{[math]}$ ．
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7. (2022·焦作模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 过原点，且倾斜角为 $\text{[math]}$ ．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）已知曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程．
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8. (2022高三上·武功) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为参数），曲线 $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方交于点 $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ （异于原点 $\text{[math]}$ ）.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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9. (2023高三上·萍乡期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $\text{[math]}$ .与曲线 $\text{[math]}$ 相交于P，Q两点.
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程，并求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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10. (2023高三上·呼和浩特期末) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 $\text{[math]}$ 取相同的长度单位，且以原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的参数方程；
2. （2）设圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求弦长 $\text{[math]}$ .
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11. (2023高三上·南阳期末) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．
1. （1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；
2. （2）若点A，B为曲线C上的两个点且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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12. (2023高三上·江西模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的极坐标方程和曲线C的普通方程；
2. （2）点A为曲线C上一动点，点B为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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三、提升

13. (2023·资阳模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）设射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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14. (2023·广西模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值．
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15. (2023·南宁模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
2. （2）点P在直线l上，射线 $\text{[math]}$ 交曲线C于点R，点Q在射线 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，求点Q的轨迹的直角坐标方程.
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16. (2023·达州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.
1. （1）写出C的普通方程和极坐标方程：
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与C交于点A，B，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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17. (2023·榆林模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线M的方程为 $\text{[math]}$ ，曲线N的方程为 $\text{[math]}$ ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
1. （1）求曲线M，N的极坐标方程；
2. （2）若射线 $\text{[math]}$ 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·玉林模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的极坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与C相交于A，B两点，P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2023·柳州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）设射线 $\text{[math]}$ 和射线 $\text{[math]}$ 分别与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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20. (2023·包头模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数， $\text{[math]}$ ）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）说明 $\text{[math]}$ 是什么曲线，并将 $\text{[math]}$ 的方程化为极坐标方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，是否存在实数b，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共点都在 $\text{[math]}$ 上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．
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21. (2023·内蒙古模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
2. （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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22. (2023高三下·新乡开学考) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点为A，B，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. (2022·焦作模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点 $\text{[math]}$ ，直线l的参数方程是 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
2. （2）设l与C相交于点A，B，求 $\text{[math]}$ 的值．
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四、培优

24. (2023高二下·简阳月考) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，若l与C交于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ，求m的值．
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25. (2023·宜宾模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的斜率．
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26. (2023·四川模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点为点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$
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27. (2023·安康模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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28. (2023高三上·赣州月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ ，直线l与曲线C的交点为A，B，求 $\text{[math]}$ 的值．
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