例题:已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是(x+1),求另一个因式及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得x2+4x+m=(x+1)(x+n),则
x2+4x+m=x2+(n+1)x+n ,
∴ ,
解得 ,
∴另一个因式(x+3),m的值为3.
问题:已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式及k的值.
材料1:将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(+n)的形式,如x2+4x+3=(x+1)(x+3);x2﹣4x﹣12=(x﹣6)(x+2)
材料2:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1
解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2 , 再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2
上述解题方法用到“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法.请你解答下列问题:
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等,但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解,比如多项式. . 这样我们就需要结合式子特点,探究新的分解方法.仔细观察这个四项式,会发现:若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点,把它的后两项结合为一组可提取公因式,而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式,提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解.具体过程如下:
例1:
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后,进行分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式,关键在恰当分组,分组须有“预见性”,预见下一步能继续分解,直到完成分解.
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