福建省福州市马尾区2024届高三上学期数学期中试卷

更新时间：2023-12-19 浏览次数：27 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. (2024高三上·马尾期中) 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·马尾期中) 已知全集为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列运算结果一定为 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·马尾期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不共线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 2或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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4. (2024·) 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\text{[math]}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．“会圆术”给出 $\text{[math]}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·马尾期中) 若 $\text{[math]}$ 的展开式中二项式系数和为 $\text{[math]}$ ，所有项系数和为 $\text{[math]}$ ，一次项系数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4095 B . 4097 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·马尾期中) 已知角 $\text{[math]}$ 的大小如图所示，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. (2024高三上·马尾期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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8. (2024高三上·马尾期中) 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 表示大于 $\text{[math]}$ 的最小整数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前2022项之和为（）

A . 4044 B . 4045 C . 4046 D . 4047

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. (2024高三上·马尾期中) 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等

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10. (2024高三上·马尾期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为3 B . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减

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11. (2024高三上·马尾期中) 已知同底面的两个正三棱锥 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均内接于球 $\text{[math]}$ ，且正三棱锥 $\text{[math]}$ 的侧面与底面所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）.

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 设三棱锥 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的体积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 截球 $\text{[math]}$ 所得的截面面积是球 $\text{[math]}$ 表面积的 $\text{[math]}$ 倍 D . 二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$

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12. (2024高三上·马尾期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的零点是 $\text{[math]}$ B . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ C . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上不是单调函数 D . 对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高三上·马尾期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为2，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且6， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·马尾期中) $\text{[math]}$ .

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15. (2024高三上·马尾期中) 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有.

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16. (2024高三上·马尾期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，则椭圆的离心率为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2024高三上·马尾期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边长，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2024高三上·马尾期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2024高三上·马尾期中) 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，如图G4-1所示，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在 $\text{[math]}$ 内的概率；
2. （2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
  为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在 $\text{[math]}$ 内的个数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
  重量范围（单位： $\text{[math]}$ ）
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  个数
  2
  4
  2
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20. (2024高三上·马尾期中) 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角的 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2024高三上·马尾期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2.
1. （1）求籿圆的标准方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ 的面积为定值；
  ②椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
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22. (2024高三上·马尾期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图像上相异的两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 的斜率大于0；
2. （2）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，使不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立.
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