【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程...

更新时间：2024-01-20 浏览次数：8 类型：同步测试

一、选择题

1. (2020八下·德清期中) 设a、b为x²+x﹣2011=0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b=（）

A . 2014 B . ﹣2014 C . 2011 D . ﹣2011

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2. 一元二次方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，给出以下四个结论：(1)若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则方程 $\text{[math]}$ 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 $\text{[math]}$ 的两根符号相同，则方程 $\text{[math]}$ 的两根符号也相同；(3)若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根；(4)若方程 $\text{[math]}$ 和方程 $\text{[math]}$ 有一个相同的根，则这个根必是 $\text{[math]}$ .其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. 若关于x的一元二次方程x²﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a²﹣ab+b²=18，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 3 B . ﹣3 C . 5 D . ﹣5

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4. (2021八下·安徽期末) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个整数根且乘积为正，关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中正确结论的个数是（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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5. (2022八下·温州期末) 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

6. (2023八下·杭州月考) 已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是．(填写序号)

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7. 设x₁ ， x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，且2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，则a=．

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8. (2023九上·成都开学考) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的值为．

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9. (2023九上·池州开学考) 已知三个均不为0且互不相等的实数m ， n ， p ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请解决下列问题：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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三、综合题

10. (2022八下·梧州期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 取任何实数，方程总有实数根；
2. （2）若直角三角形 $\text{[math]}$ 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求 $\text{[math]}$ 的值.
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11. (2023八下·永兴期末) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根．
1. （1）试求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若此方程的两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值．
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12. (2023八下·杭州期中) 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
1. （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
2. （2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
3. （3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
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13. (2022八下·杭州期中) 已知 $\text{[math]}$ 的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，第三边BC的长是10.
1. （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
2. （2）当n为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？并求 $\text{[math]}$ 的周长.
3. （3）当n为何值时， $\text{[math]}$ 是以BC为斜边的直角三角形？
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14. (2021八下·合肥期末) 定义：若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
2. （2）求衍生点M的轨迹的解析式；
3. （3）若无论k $\text{[math]}$ 为何值，关于x的方程 $\text{[math]}$ 的衍生点M始终在直线 $\text{[math]}$ 的图象上，求b与c满足的关系．
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15. (2021八下·瑶海期中) 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为 $\text{[math]}$ ①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为实数）， $\text{[math]}$ 叫做这个复数的实部， $\text{[math]}$ 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．同样我们也可以化简 $\text{[math]}$ ．读完这段文字，请你解答以下问题：
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，写出一个以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值为解的一元二次方程．
3. （3）在复数范围内解方程： $\text{[math]}$ ．
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16. (2023八下·缙云期中) 已知方程x²+bx+a＝0①，和方程ax²+bx+1＝0②（a≠0）.
1. （1）若方程①的根为x₁＝2，x₂＝3，求方程②的根；
2. （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝ $\text{[math]}$ 是方程②的根；
3. （3）若a²b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求 $\text{[math]}$ 的值.
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17. (2020八下·房山期中) 如果关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 $\text{[math]}$ ，则另一个根为 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ，所以有 $\text{[math]}$ ；我们记“ $\text{[math]}$ ”即 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
1. （1）方程① $\text{[math]}$ ；方程② $\text{[math]}$ ；方程③ $\text{[math]}$ 这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是倍根方程，则 $\text{[math]}$ 的值为；
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