2013年高考理数真题试卷（天津卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：893 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2013·天津理) 已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）

A . （﹣∞，2] B . [1，2] C . [﹣2，2] D . [﹣2，1]

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2. (2013·天津理) 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）

A . ﹣7 B . ﹣4 C . 1 D . 2

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3. (2013·天津理) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）

A . 64 B . 73 C . 512 D . 585

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4. (2013·天津理) 已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的 $\text{[math]}$ ，则其体积缩小到原来的 $\text{[math]}$ ；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆 $\text{[math]}$ 相切．
其中真命题的序号是（）

A . ①②③ B . ①② C . ①③ D . ②③

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5. (2013·天津理) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 $\text{[math]}$ ，则p=（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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6. (2020高三上·信阳月考) 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，则sin∠BAC=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2013·天津理) 函数f（x）=2^x|log_0.5x|﹣1的零点个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2013·天津理) 已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2013·天津理) 已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．

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10. (2023·巴中模拟) $\text{[math]}$ 的二项展开式中的常数项为．

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11. (2013·天津理) 已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为 $\text{[math]}$ ，则|CP|=．

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12. (2013·天津理) 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若 $\text{[math]}$ ，则AB的长为．

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13. (2013·天津理) 如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．

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14. (2013·天津理) 设a+b=2，b＞0，则当a=时， $\text{[math]}$ 取得最小值．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. (2013·天津理) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求f（x）的最小正周期；
2. （2）求f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
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16. (2013·天津理) 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
1. （1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
2. （2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
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17. (2013·天津理) 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
1. （1）证明B₁C₁⊥CE；
2. （2）求二面角B₁﹣CE﹣C₁的正弦值．
3. （3）设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段AM的长．
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18. (2013·天津理) 设椭圆 $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为 $\text{[math]}$ ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 $\text{[math]}$ =8，求k的值．
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19. (2013·天津理) 已知首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃ ， S₅+a₅ ， S₄+a₄成等差数列．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列{T_n}的最大项的值与最小项的值．
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20. (2013·天津理) 已知函数f（x）=x²lnx．
1. （1）求函数f（x）的单调区间；
2. （2）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
3. （3）设（2）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e²时，有 $\text{[math]}$ ．
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