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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：集合与常用逻辑用语

更新时间：2024-02-22 浏览次数：10 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2023高一上·上海市期中) 对于正整数集合 $\text{[math]}$ ，如果去掉其中任意一个元素 $\text{[math]}$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $\text{[math]}$ 为“和谐集”．
1. （1）判断集合 $\text{[math]}$ 是否为“和谐集”，并说明理由；
2. （2）求证：集合 $\text{[math]}$ 是“和谐集”；
3. （3）求证：若集合 $\text{[math]}$ 是“和谐集”，则集合 $\text{[math]}$ 中元素个数为奇数．
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2. (2023高二上·朝阳开学考) 设 $\text{[math]}$ ，已知由自然数组成的集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 是S的互不相同的非空子集，定义 $\text{[math]}$ 数表：
$\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，

设 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 中的最大值．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 中的元素个数均相同，若 $\text{[math]}$ ，求n的最小值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 中的元素个数均为3，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的最小值为3．
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3. (2023高三上·昌平期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ 的所有元素；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $\text{[math]}$ 的所有元素都是3的倍数；
3. （3）求集合 $\text{[math]}$ 的元素个数的最大值.
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4. (2023高一上·朝阳期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示有限集合X的元素个数.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出所有符合要求的集合T；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对于任意的A ，是否都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ?说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，对于任意的A ，都存在T ，使得 $\text{[math]}$ ，求n的最小值.
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5. (2023高一上·奉贤期中) 已知集合 $\text{[math]}$ 为非空数集，定义： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 实数可以相同）
1. （1）若集合 $\text{[math]}$ ，直接写出集合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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6. (2023高一下·番禺期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是 $\text{[math]}$ ．给定函数 $\text{[math]}$ 及其图象的对称中心为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求c的值；
2. （2）判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性并用定义法证明；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数m的取值范围．
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7. (2022·海淀模拟) 已知有限数列 $\text{[math]}$ 共M项 $\text{[math]}$ ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列 $\text{[math]}$ 的各项和记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值
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8. 求证：如果p²＋q²＝2，则p＋q≤2.

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9. (2024高一上·芦溪期末) 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 $\text{[math]}$ ，如果对于其定义域 $\text{[math]}$ 中任意给定的实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，就称函数 $\text{[math]}$ 为倒函数.
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否为倒函数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的倒函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 是否有正整数解？并说明理由；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 $\text{[math]}$ 上是增函数.记 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充要条件.
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10. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $\text{[math]}$ 的变换，其中 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“像”， $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“原像”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“像”以及 $\text{[math]}$ “原像”；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“像”在复平面上所构成图形的面积．
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11. (2023高一上·海淀期末) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且区间 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ .
1. （1）记：①充分而不必要条件；
  ②必要而不充分条件；
  
  ③充要条件；
  
  ④既不充分也不必要条件
  
  则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；
  
  $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；
  
  $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 满足性质 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰满足性质 $\text{[math]}$ ､性质 $\text{[math]}$ ､性质 $\text{[math]}$ ､性质 $\text{[math]}$ 中的一个，直接写出实数 $\text{[math]}$ 的最小值.
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12. (2023高一上·深圳期中) 设命题 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立；
命题 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立.
1. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
2. （2）若命题p、q至多有一个是真命题，求实数m的取值范围.
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13. (2022高一上·黑龙江月考) 设命题 $\text{[math]}$ ：对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，命题 $\text{[math]}$ ：存在 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为真命题，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若命题 $\text{[math]}$ 与命题 $\text{[math]}$ 一真一假，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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14. (2022高一上·海南期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”假命题，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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15. (2021高二上·河南期中) 已知 $\text{[math]}$ 对于函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是真命题，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是假命题， $\text{[math]}$ 是真命题，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. (2021高三上·河南月考) 已知 $\text{[math]}$ ，命题 $\text{[math]}$ 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ；命题 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的减函数.若“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”为假命题，“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”为真命题，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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