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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：三角函数

更新时间：2024-02-22 浏览次数：10 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2019高一上·闵行月考) 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 $\text{[math]}$ 型槽上的横截面图，已知图中 $\text{[math]}$ 为等腰梯形（ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ），支点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相距8 $\text{[math]}$ ，罐底最低点到地面 $\text{[math]}$ 距离为1 $\text{[math]}$ ，设油罐横截面圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为5 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求： $\text{[math]}$ 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果保留整数）

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2. (2019高一下·上海月考) 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 $\text{[math]}$ 和以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆弧 $\text{[math]}$ 组成，其中 $\text{[math]}$ 为2百米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．若在半圆弧 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 上各建一个观赏亭 $\text{[math]}$ ，再修两条栈道 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ ．
1. （1）试用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）试确定点 $\text{[math]}$ 的位置，使两条栈道长度之和最大.
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3. (2024高一上·中山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个零点.
1. （1）求实数a的取值范围.
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两个零点，证明： $\text{[math]}$
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4. (2023高三上·安徽期中) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的面积，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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5. (2023高二上·成都月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围．
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6. (2023高二上·长沙开学考) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人甲，同时在A处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 $\text{[math]}$ 米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若两机器人运动方向的夹角为 $\text{[math]}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
2. （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
  ①若 $\text{[math]}$ ， AD足够长，机器人乙挑战成功，求 $\text{[math]}$ .
  ②如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论 $\text{[math]}$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $\text{[math]}$ 使机器人乙挑战成功？
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7. (2024高一上·南山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式.
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8. (2024高一上·芦溪期末) 若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）求能使 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的值，并求当 $\text{[math]}$ 取此值时， $\text{[math]}$ 的最大值.
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9. (2023高三上·金山模拟) 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
1. （1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角 $\text{[math]}$ 不能超过 $\text{[math]}$ ，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，而客户家门高度为 $\text{[math]}$ 米，其他过道高度足够．若以倾斜角 $\text{[math]}$ 的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
2. （2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为 $\text{[math]}$ 米．记此冰箱水平截面为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，当冰箱被卡住时(即点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上），尝试用 $\text{[math]}$ 表示冰箱高度 $\text{[math]}$ 的长，并求出 $\text{[math]}$ 的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到 $\text{[math]}$ ）
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10. (2023高三上·石家庄期中) 在 $\text{[math]}$ 中角A ， B ， C所对的边分别为a，b ， c ，满足 $\text{[math]}$
1. （1）求角C的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点I ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值．
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11. (2024高一上·辽源期末) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期和单调递增区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值及此时的 $\text{[math]}$ 值．
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12. (2023高三上·黄冈) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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13. (2023高二上·上海市期中) 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为轴将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别向上翻转 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点重合为点 $\text{[math]}$ 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 $\text{[math]}$ 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\text{[math]}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
2. （2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设 $\text{[math]}$
  ①用 $\text{[math]}$ 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 $\text{[math]}$ ；
  ②当蜂房表面积最小时，求其顶点 $\text{[math]}$ 的曲率的余弦值.
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14. (2023高二上·长沙开学考) 定义： $\text{[math]}$ 为实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是与 $\text{[math]}$ 无关的定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的“正弦方差” $\text{[math]}$ 的值是与 $\text{[math]}$ 无关的定值，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 值.
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15. (2024高一上·泊头期末) 如图所示，某小区中心有一块圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ 的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E ， F在边OA上，点 $\text{[math]}$ 在边OB上，点 $\text{[math]}$ 在AB上），其他区域地面铺设绿地，设 $\text{[math]}$ .
1. （1） $\text{[math]}$ 表示绿地的面积 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若铺设绿地每平分米100元，要使得铺设绿地的出用 $\text{[math]}$ 最低， $\text{[math]}$ 应取何值，并求出此时 $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2022高一下·马山月考) 如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 $\text{[math]}$ ，已知摄影爱好者的身高约为 $\text{[math]}$ 米（将眼睛S距地面的距离SA按 $\text{[math]}$ 米处理）．
1. （1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
2. （2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角 $\text{[math]}$ （设为 $\text{[math]}$ ）是否存在最大值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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17. (2022高一上·信阳期末) 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边 $\text{[math]}$ 为半圆的直径，O为半圆的圆心， $\text{[math]}$ ，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域 $\text{[math]}$ （底边 $\text{[math]}$ ）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求三角形区域 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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18. (2021高三上·邹城期中) 某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为 $\text{[math]}$ 的半圆 $\text{[math]}$ 和矩形 $\text{[math]}$ 组成，其中 $\text{[math]}$ .管理部门规划在圆心 $\text{[math]}$ 处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩，决定从A地出发修建一条经过亭子 $\text{[math]}$ 处到达 $\text{[math]}$ 的公路，具体路线是：在半圆 $\text{[math]}$ 上选点 $\text{[math]}$ (异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点)，从点 $\text{[math]}$ 沿圆弧到点 $\text{[math]}$ ，再从点 $\text{[math]}$ 经过亭子 $\text{[math]}$ 的直线到达 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处.已知从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的修路费用每千米需要 $\text{[math]}$ 元，从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的修路费用每千米需要 $\text{[math]}$ 元，设 $\text{[math]}$ 弧度，从 $\text{[math]}$ 地经点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 地修路所需费用为 $\text{[math]}$ 元.
1. （1）试将 $\text{[math]}$ 表示为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，并写出定义域；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取何值时，修路所需费用最少?
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19. (2021高一下·如皋开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为 $\text{[math]}$ ；②函数 $\text{[math]}$ 的图象可由 $\text{[math]}$ 的图象平移得到；③若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）请写出这两个条件序号，并求出 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上所有解的和.
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