备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：数列-在线组卷

1. (2023高三上·北京市月考) 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．对任意 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且两两不相等．

（1）若 $\text{[math]}$ ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
（2）记 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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2. (2024高三上·辽宁五校联考期末) 记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求证： $\text{[math]}$ .

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3. (2023高三上·月考) 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，对任意i，j，都存在s，t，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且两两不相等.

（1）若m=2，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2
（2）记S=a₁+a₂+…+a_n ，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
（3）若m=2022，求n的最小值.

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4. (2023高二上·牡丹江月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

（1）证明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求通项公式 $\text{[math]}$ ；
（2）若对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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5. (2023高三上·锡林郭勒盟模拟) 设 $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点.

（1）求 $\text{[math]}$ 的离心率；
（2）过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不平行）.
①当 $\text{[math]}$ 为常数时，若 $\text{[math]}$ 成等差数列，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
②当 $\text{[math]}$ 时.延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于另一个点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不垂直），试判断直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由.

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6. (2024高三上·天津市月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是公比为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 8成等差数列，

（1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
（3）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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7. (2023高二上·罗湖月考) 如果有穷数列 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）满足条件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），我们称其为“对称数列”．例如，1，2，5，2，1是“对称数列”．

（1）设 $\text{[math]}$ 是7项的“对称数列”，其中 $\text{[math]}$ 是等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．依次写出 $\text{[math]}$ 的每一项；
（2）设 $\text{[math]}$ 是49项的“对称数列”，其中 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，求 $\text{[math]}$ 各项的和S ．

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8. (2023高三上·中山月考) 已知等比数列{a_n}的公比q>1，a₁＝2，且a₁ ， a₂ ， a₃－8成等差数列，数列{a_nb_n}的前n项和为 $\text{[math]}$ .

（1）分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为S_n ， ∀n∈N^* ， S_n≤m恒成立，求实数m的最小值．

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9. (2023高二上·天津市月考) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）；
（3）对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.

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10. (2024·安徽模拟) 第 $\text{[math]}$ 届世界杯于 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日到 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\text{[math]}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 $\text{[math]}$ 人中的 $\text{[math]}$ 人，接球者接到球后再等可能地随传向另外 $\text{[math]}$ 人中的 $\text{[math]}$ 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 $\text{[math]}$ 次传球之前球在甲脚下的概率为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 试证明： $\text{[math]}$ 为等比数列；
$\text{[math]}$ 设第 $\text{[math]}$ 次传球之前球在乙脚下的概率为 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．

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11. (2024·潍坊期末) 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\text{[math]}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\text{[math]}$ .

（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $\text{[math]}$ 分，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为 $\text{[math]}$ 中的任意一个数，记乙累计得 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ .

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12. (2024·七省模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ .例如， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是等比数列.
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

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13. (2023高三上·韶关模拟) 有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．

（1）求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
（2）若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第 $\text{[math]}$ 个格子的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．

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14. (2022高三上·密云期末) 在各项均不为零的数列 $\text{[math]}$ 中，选取第 $\text{[math]}$ 项、第 $\text{[math]}$ 项、…、第 $\text{[math]}$ 项，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若新数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，则称新数列为 $\text{[math]}$ 的一个长度为 $\text{[math]}$ 的“等比子列”．已知等差数列 $\text{[math]}$ ，其各项与公差 $\text{[math]}$ 均不为零．

（1）若在数列 $\text{[math]}$ 中，公差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且存在项数为3的“等比子列”，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个长度为 $\text{[math]}$ 的“等比子列”，其中 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 最小时，求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（3）若公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的“等比子列”．

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15. 用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ 能被9整除 $\text{[math]}$ .

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）猜想数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明.

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17. (2021高三上·金华月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它与数列 $\text{[math]}$ 形成的新数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ：
（2）记集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中所有元素的和，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．

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18. (2023高二上·牡丹江月考) 已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，首项为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列．

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，并写出通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
（3）在（2）的条件下，若不等式 $\text{[math]}$ 对一切正整数 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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19. (2023高三上·牡丹江月考) 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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20. (2023高三上·前郭尔罗斯月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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21. (2023高三上·唐县期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；
（3）在（2）的条件下，对于实数m，存在正整数n，使得 $\text{[math]}$ 成立，求m的最小值.

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22. (2023高三上·香坊期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求实数 $\text{[math]}$ 的值，并求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
（2）若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .