备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：微积分与极限-在线组卷

1. 设f(a)＝ $\text{[math]}$ |x²－a²|dx

（1）当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
（2）当a≥0时，求f(a)的最小值．

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2. (2019高二下·海安月考) 请先阅读：

在等式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的两边求导，得： $\text{[math]}$ ，

由求导法则，得 $\text{[math]}$ ，化简得等式： $\text{[math]}$ 。

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，正整数 $\text{[math]}$ ），证明： $\text{[math]}$ 。
（2）对于正整数 $\text{[math]}$ ，求证：
（i） $\text{[math]}$ ；（ii） $\text{[math]}$ ；（iii） $\text{[math]}$ 。

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3. (2019高三上·江苏月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足: $\text{[math]}$

（1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
（2）设 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（3）在(2)的条件下，设 $\text{[math]}$ 记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ 存在实数 $\text{[math]}$ ,使得 $\text{[math]}$ ,求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.

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4. (2020高二上·上海月考) 设数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，且公差为d ，若数列 $\text{[math]}$ 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）若 $\text{[math]}$ ，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列 $\text{[math]}$ 是否是“封闭数列”，为什么?
（3）设 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，若公差 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使 $\text{[math]}$ ；若存在，求 $\text{[math]}$ 的通项公式，若不存在，说明理由.

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5. (2022高三上·云南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数．

（1）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不同的正实根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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6. (2022高二下·浙江期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，求切线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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7. (2021高三上·台州期末) 已知 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）若对任意实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 均有零点，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值；
（3）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

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8. (2021高三上·金华期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）判断 $\text{[math]}$ 的根的个数；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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9. (2021高三上·烟台期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点 $\text{[math]}$ ，
①求a的取值范围；

②求证： $\text{[math]}$ ．

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10. (2019高二下·海东月考) 如图：已知 $\text{[math]}$ 通过点（1，2），与 $\text{[math]}$ 有一个交点横坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所围的面积 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系；
（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 取得最小值.

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11. (2015高二下·淄博期中) 某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（4≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x²﹣3.2lnx+3，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利﹣亏损）

（I）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；

（II）当每台机器的日产量x（万件）写为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？

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12. 已知函数f(x)=f'(1)e^x-1-f(0)x+ $\text{[math]}$ x³

（1）求f(x)的解析式及单调区间；
（2）若f(x)≥ $\text{[math]}$ x²+ax+b，求(a＋1)b的最大值.

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13. (2021高三上·湖州期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．

（1）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）若存在正数 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ 成立．
证明：（ⅰ） $\text{[math]}$ ；

（ⅱ） $\text{[math]}$ ．

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14. (2021高三上·杭州期中) 已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）（i）证明： $\text{[math]}$ ；
（ii）证明： $\text{[math]}$ .

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15. (2021高三上·太原期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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16. (2021高三上·辽宁月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 只有1个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，是否存在正整数k，使得关于x的方程 $\text{[math]}$ 有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．

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17. (2021高三上·南通开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，若曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 存在唯一的公切线，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.