2014年高考理数真题试卷（安徽卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：417 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. (2014·安徽理) 设i是虚数单位， $\text{[math]}$ 表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则 $\text{[math]}$ +i• $\text{[math]}$ =（）

A . ﹣2 B . ﹣2i C . 2 D . 2i

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2. (2014·安徽理) “x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2014·安徽理) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

A . 34 B . 55 C . 78 D . 89

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4. (2014·安徽理) 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 $\text{[math]}$ （t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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5. (2014·安徽理) x、y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A . $\text{[math]}$ 或﹣1 B . 2或 $\text{[math]}$ C . 2或1 D . 2或﹣1

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6. (2014·安徽理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（ $\text{[math]}$ ）=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . ﹣ $\text{[math]}$

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7. (2014·安徽理) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

A . 21+ $\text{[math]}$ B . 18+ $\text{[math]}$ C . 21 D . 18

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8. (2019高二下·海珠期末) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）

A . 24对 B . 30对 C . 48对 D . 60对

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9. (2014·安徽理) 若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）

A . 5或8 B . ﹣1或5 C . ﹣1或﹣4 D . ﹣4或8

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10. (2014·安徽理) 在平面直角坐标系xOy中．已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，点Q满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），曲线C={P| $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosθ+ $\text{[math]}$ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤| $\text{[math]}$ |≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）

A . 1＜r＜R＜3 B . 1＜r＜3≤R C . r≤1＜R＜3 D . 1＜r＜3＜R

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二、填空题：把答案填在答题卡相应位置．

11. (2024高一下·上海市期末) 若将函数f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．

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12. (2014·安徽理) 数列{a_n}是等差数列，若a₁+1，a₃+3，a₅+5构成公比为q的等比数列，则q=．

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13. (2014·安徽理) 设a≠0，n是大于1的自然数，（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ的展开式为a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ ．若点A_i（i，a_i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=．

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14. (2014·安徽理) 设F₁ ， F₂分别是椭圆E：x²+ $\text{[math]}$ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF₁|=3|F₁B|，AF₂⊥x轴，则椭圆E的方程为．

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15. (2014·安徽理) 已知两个不相等的非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两组向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均由2个 $\text{[math]}$ 和3个 $\text{[math]}$ 排列而成，记S= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，S_min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，则S_min与| $\text{[math]}$ |无关；
③若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则S_min与| $\text{[math]}$ |无关；
④若| $\text{[math]}$ |＞4| $\text{[math]}$ |，则S_min＞0；
⑤若| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |，S_min=8| $\text{[math]}$ |² ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．

16. (2014·安徽理) 设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
1. （1）求a的值；
2. （2）求sin（A+ $\text{[math]}$ ）的值．
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17. (2014·安徽理) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，各局比赛结果相互独立．
1. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
2. （2）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
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18. (2014·安徽理) 设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x²﹣x³ ，其中a＞0．
1. （1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
2. （2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
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19. (2014·安徽理) 如图，已知两条抛物线E₁：y²=2p₁x（p₁＞0）和E₂：y²=2p₂x（p₂＞0），过原点O的两条直线l₁和l₂ ， l₁与E₁ ， E₂分别交于A₁、A₂两点，l₂与E₁、E₂分别交于B₁、B₂两点．
1. （1）证明：A₁B₁∥A₂B₂；
2. （2）过O作直线l（异于l₁ ， l₂）与E₁、E₂分别交于C₁、C₂两点．记△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的面积分别为S₁与S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. (2014·安徽理) 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁、C、D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
1. （1）证明：Q为BB₁的中点；
2. （2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
3. （3）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
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21. (2014·安徽理) 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^* ．
1. （1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
2. （2）数列{a_n}满足a₁＞ $\text{[math]}$ ，a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ a_n¹^﹣^p ．证明：a_n＞a_n+1＞ $\text{[math]}$ ．
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