备考2024年高考数学提升专题特训：空间向量与立体几何-在线组卷

1.

已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别在AB，PC上，且PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，如图建立空间直角坐际系，求 $\text{[math]}$ 的坐标．

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2. (2023高二上·鹤山月考) 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．

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3. (2023高二上·上海市期中) 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，M ， N分别是 $\text{[math]}$ 上

点，且 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）试用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求MN的长．

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4. (2023高二上·福州期中) 如图在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，

（1）用基底 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ，并求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

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5. (2023高二上·南山期中) 如图，已知平行六面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ ．

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6. (2023高二上·灞桥月考) 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F ， G分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）证明：C ， E ， F ， G四点共面．

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7. (2023高二上·深圳期中) 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．

（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ ．

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8. (2023·) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

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9. (2024高三上·马尾期中) 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角的 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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10. (2023高二上·永川月考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

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11. (2023高二上·云浮月考) 已知空间三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

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12. (2023高二下·浙江期中) 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且已知二面角 $\text{[math]}$ 是钝角.

（1）求 $\text{[math]}$ 的长度；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

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13. (2023高一下·保定期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）求向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的模．

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14. (2024高三下·济南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 两点，O为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，且与椭圆交于A，B两点，证明： $\text{[math]}$ ．

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15. (2024·昌乐模拟) 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形， $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ ，且AB=4，BC=2， $\text{[math]}$ ， BE=1．

（1）求BF的长；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 成的角的正弦值．

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16. (2023高二上·青羊期中) 已知点 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）求以 $\text{[math]}$ 为邻边的平行四边形的面积.

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17. (2023高二上·东莞期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）记 $\text{[math]}$ 的中点为N，若M在线段 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

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18. (2024·荆州市模拟) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若四棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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19. (2023·) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，说明理由？

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20. (2023高三上·张家口月考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值．

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21. (2024·宁德模拟) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为直角梯形，BC $\text{[math]}$ AD ， ∠ADC=90°， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， E为线段AD的中点. $\text{[math]}$ 底面ABCD ，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.

（1）求证：BE $\text{[math]}$ FG；
（2）若PC与AB所成的角为 $\text{[math]}$ ，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

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22. (2024·扬州模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，则面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小.

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23. (2024·珠海模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的一点．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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24. (2023高二上·福州期中) 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是边长为2的菱形，且 $\text{[math]}$ ， E为棱AD的中点， $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角．

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25. (2024高三上·青海宁夏模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的普通方程和 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
（2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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26. (2024咸阳高考模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.