广东省广州市重点中学2023-2024学年高三下学期数学开学...

更新时间：2024-04-17 浏览次数：21 类型：开学考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目。

1. (2024高三下·广州开学考) 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩 $\text{[math]}$ 单位：分 $\text{[math]}$ 分别是： $\text{[math]}$ ，则这12名学生成绩的 $\text{[math]}$ 分位数是（）

A . 92 B . 87 C . 93 D . 91

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2. (2024高三下·广州开学考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的虚轴长是2，则实数m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·广州开学考) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 16 C . 32 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·广州开学考) 已知直线a和平面 $\text{[math]}$ ，那么能得出 $\text{[math]}$ 的一个条件是（）

A . 存在一条直线b ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . 存在一条直线b ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . 存在一个平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . 存在一个平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·广州开学考) 包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有（）

A . 120 B . 72 C . 60 D . 54

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6. (2024高三下·广州开学考) 已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，过点P作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别是点A ， B ，则四边形PACB的面积的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·广州开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·广州开学考) 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三下·广州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . f（x）的最大值为2 B . f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . f（x）在 $\text{[math]}$ 上有4个零点 D . 把f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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10. (2024高一下·金华期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·广州开学考) 定义：已知两个非零向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．我们把数量 $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的叉乘 $\text{[math]}$ 的模，记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．则下列命题中正确的有（）

A . 若平行四边形ABCD的面积为4，则 $\text{[math]}$ B . 在正△ABC中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为2 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为单位向量，则 $\text{[math]}$ 的值可能为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高三下·广州开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围是.

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13. (2024高三下·广州开学考) 已知 $\text{[math]}$ ．若对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. (2024高三下·广州开学考) 若数列 $\text{[math]}$ 中不超过 $\text{[math]}$ 的项数恰为 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的生成数列，称相应的函数 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 生成 $\text{[math]}$ 的控制函数.已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前m项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则m的值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. (2024高三下·广州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线的斜率为 $\text{[math]}$
1. （1）求a的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值．
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16. (2024高三下·广州开学考) 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
1. （1）现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
2. （2）以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 $\text{[math]}$ 表示抽到一等品的箱数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望.
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17. (2024高三下·广州开学考) 由各棱长均相等的四棱柱 $\text{[math]}$ 截去三棱锥 $\text{[math]}$ 后得到的几何体如图所示，底面ABCD为正方形，点O为线段AC与BD的交点，点E为线段AD中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点M为线段 $\text{[math]}$ 包含端点 $\text{[math]}$ 上一点，求EM与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值.
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18. (2024高三下·广州开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与x轴不重合 $\text{[math]}$ 交C于M ， N两点，且当M为C的上顶点时， $\text{[math]}$ 的周长为8，面积为 $\text{[math]}$
1. （1）求C的方程；
2. （2）若A是C的右顶点，设直线l ， AM ， AN的斜率分别为k ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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19. (2024高三下·广州开学考) 对任意 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则称这个数列为“K数列”.
1. （1）已知数列：1， $\text{[math]}$ 是“K数列”，求实数m的取值范围；
2. （2）是否存在首项为 $\text{[math]}$ 的等差数列 $\text{[math]}$ 为“K数列”，且其前n项和 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 恒成立?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由；
3. （3）已知各项均为正整数的等比数列 $\text{[math]}$ 是“K数列”，数列 $\text{[math]}$ 不是“K数列”，若 $\text{[math]}$ 试判断数列 $\text{[math]}$ 是否为“K数列”，并说明理由.
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